(Importante) Dado
espaço vetorial sobre um corpo
e seja
uma base para V .
a) Prove que existe um único operador linear
tal que
e
. Escreva a matriz de T nessa base.
b) Prove que
, mas
c) Seja
um operador linear em
tal que
mas
. Prove que existe uma base
tal que a matriz para
nessa base é a matriz descrita na parte a.
d) Prove que se
e
são matrizes
tal que
mas
, então M e N são similares.
a) Prove que existe um único operador linear
b) Prove que
c) Seja
d) Prove que se
Passo 1
O enunciado pede para construir e analisar um operador nilpotente de ordem exata n numa base de V e mostrar que todo operador nilpotente de ordem n é similar a esse modelo único. Vamos usar teoria de extensão linear, cálculo de potências e construção de base cíclica (vetor gerador).
Passo 2
Defino T em B = {α₁,…,αₙ} mandando T(αⱼ)=αⱼ₊₁ para j=1,…,n−1 e T(αₙ)=0 e estendo T linearmente a todo V. A existência vem dessa extensão e a unicidade porque um operador linear fica completamente determinado pelas imagens da base.
Passo 3
Para escrever a matriz [T]_B, basta ver que a coluna j é o vetor de coordenadas de T(αⱼ). Como T(αⱼ)=αⱼ₊₁, a coluna j tem 1 na linha j+1 e zeros nas demais. Assim [T]_B tem uns na subdiagonal imediata e zeros em todo o resto.
Passo 4
Para T^k aplico a regra de deslocamento k vezes: T^k(αⱼ)=αⱼ₊ₖ se j+k≤n e 0 caso contrário. Logo T^n(αⱼ)=0 para todo j, isto é T^n=0. Mas T^{n−1}(α₁)=αₙ≠0, logo T^{n−1}≠0.
Passo 5
Agora seja S:V→V com S^n=0 mas S^{n−1}≠0. Como S^{n−1} não anula tudo, existe v∈V tal que S^{n−1}(v)≠0. Considere os vetores v, S(v), …, S^{n−1}(v).
Passo 6
Mostro que {v, S(v), …, S^{n−1}(v)} é linearmente independente: se ∑_{k=0}^{n−1} c_k S^k(v)=0, aplicando S^{n−1} resta c_0 S^{n−1}(v)=0 e como S^{n−1}(v)≠0 vem c_0=0. Iterando (aplicando S^{n−2}, …) todos os c_k são zero.
Passo 7
Como temos n vetores independentes em dimensão n, eles formam uma base B’. Nessa base S age por S(Sk(v))=S{k+1}(v) para k<n−1 e S(S^{n−1}(v))=0, ou seja, sua matriz é exatamente a que achamos para T.
Passo 8
Finalmente, se M e N são n×n com Mn=Nn=0 mas M{n−1}≠0≠N{n−1}, cada um é similar ao bloco de Jordan nilpotente de tamanho n. Como ambos são similares ao mesmo bloco, eles são similares entre si.
Resposta
a) O operador T existe e é único por extensão linear; em B sua matriz tem 1 na subdiagonal imediata e zeros em todo o resto. b) Tem-se T^n=0 e T^{n−1}≠0. c) Qualquer S com S^n=0, S^{n−1}≠0 admite base v,Sv,…,S^{n−1}v em que [S] é igual a [T]. d) Assim, quaisquer M,N com esas propriedades são similares ao mesmo bloco nilpotente e logo M e N são similares.