Importante: Para os próximos exercícios defina claramente o espaço de probabilidade!

15 - Agulhas de Buffon

Deixe um plano horizontal ser dividido em faixa por uma série de linhas paralelas a distância fixa d, como as tábuas do chão.
Deixe uma agulha, cujo comprimento seja igual à distância entre as linhas paralelas, ser jogada no plano aleatoriamente.
a) Defina precisamente o espaço de Probabilidade.
b) Prove que a probabilidade da agulha não interceptar uma das linhas paralelas é 2pi

Passo 1

O enunciado fala do clássico problema de Buffon: temos um plano riscado por linhas paralelas à distância fixa d, e uma agulha de comprimento ℓ=d lançada aleatoriamente. Precisamos usar probabilidade geométrica para (a) definir rigorosamente o espaço de probabilidade e (b) achar a probabilidade de a agulha interceptar uma linha, que é \ 2/π.

Passo 2

Para construir o espaço de probabilidade, representamos cada lançamento pela posição do ponto médio em relação à linha mais próxima e pelo ângulo de inclinação da agulha. Como a configuração é simétrica, podemos tomar x = distância do ponto médio até a linha mais próxima, variando em [0, d/2], e θ = ângulo entre a agulha e as linhas, variando em [0, π/2]. Assim:
Ω = [0, d/2] times [0, π/2], F = Borel(Ω), Pl(dx,dθr) = f(x,θ),dx,dθ
com densidade uniforme
f(x,θ) = 4π,d, (x,θ)in Ω

Passo 3

Agora usamos a condição geométrica para a agulha cruzar uma linha. A agulha intercepta a linha se a projeção do semicomprimento perpendicular às linhas for maior que x, ou seja, se
d2sin θ >= x

Passo 4

A probabilidade de interseção é a integral da densidade sobre a região
R = (x,θ):0<= x <= tfracd2,;0<= θ<= tfracπ2,;x <= tfracd2sin θ
Logo
P(interseção) = integral0^π/2integral0^(d/2)sin θ 4πd,dx,dθ çã

Passo 5

Basta calcular a integral:
P(interseção) = 4πd integral0^π/2 l[ x r]0^(d/2)sin θ dθ = 4πd integral0^π/2 d2sin θ ,dθ = 2π integral0^π/2 sin θ ,dθ çã
E como
integral0^π/2 sin θ ,dθ = 1,
temos
P(interseção) = 2π çã

Resposta

a) O espaço de probabilidade é
Ω = [0, d/2] × [0, π/2], com σ-álgebra de Borel e medida de probabilidade uniforme de densidade f(x,θ)=4/(πd).
b) A probabilidade de a agulha interceptar uma linha é 2/π.

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