Importante: Para os próximos exercícios defina claramente o espaço de probabilidade!
15 - Agulhas de Buffon
Deixe um plano horizontal ser dividido em faixa por uma série de linhas paralelas a distância fixa d, como as tábuas do chão.
Deixe uma agulha, cujo comprimento seja igual à distância entre as linhas paralelas, ser jogada no plano aleatoriamente.
a) Defina precisamente o espaço de Probabilidade.
b) Prove que a probabilidade da agulha não interceptar uma das linhas paralelas é
Deixe uma agulha, cujo comprimento seja igual à distância entre as linhas paralelas, ser jogada no plano aleatoriamente.
a) Defina precisamente o espaço de Probabilidade.
b) Prove que a probabilidade da agulha não interceptar uma das linhas paralelas é
Passo 1
O enunciado fala do clássico problema de Buffon: temos um plano riscado por linhas paralelas à distância fixa d, e uma agulha de comprimento ℓ=d lançada aleatoriamente. Precisamos usar probabilidade geométrica para (a) definir rigorosamente o espaço de probabilidade e (b) achar a probabilidade de a agulha interceptar uma linha, que é \ 2/π.
Passo 2
Para construir o espaço de probabilidade, representamos cada lançamento pela posição do ponto médio em relação à linha mais próxima e pelo ângulo de inclinação da agulha. Como a configuração é simétrica, podemos tomar x = distância do ponto médio até a linha mais próxima, variando em [0, d/2], e θ = ângulo entre a agulha e as linhas, variando em [0, π/2]. Assim:
com densidade uniforme
Passo 3
Agora usamos a condição geométrica para a agulha cruzar uma linha. A agulha intercepta a linha se a projeção do semicomprimento perpendicular às linhas for maior que x, ou seja, se
Passo 4
A probabilidade de interseção é a integral da densidade sobre a região
Logo
Passo 5
Basta calcular a integral:
E como
temos
Resposta
a) O espaço de probabilidade é
Ω = [0, d/2] × [0, π/2], com σ-álgebra de Borel e medida de probabilidade uniforme de densidade f(x,θ)=4/(πd).
b) A probabilidade de a agulha interceptar uma linha é 2/π.