Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias em (Omega, F, P) então também são variáveis aleatórias:
|X|

Passo 1

O enunciado é: dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P) e uma v.a. X, mostrar que |X| também é v.a. O conteúdo aqui é a definição de v.a. como função mensurável do espaço amostral para (ℝ, Borel) e vamos precisar usar propriedades de pré-imagem sob operações contínuas.

Passo 2

Por definição, X ser v.a. significa que para todo t∈ℝ temos {ω∈Ω: X(ω)≤t}∈F. Para provar que |X| é v.a., basta mostrar que para todo t∈ℝ a pré-imagem {ω∈Ω:|X(ω)|≤t} pertence a F.

Passo 3

Observe que a função f(x)=|x| é contínua em ℝ. A composição de uma função contínua com uma função mensurável é mensurável. Ou, de forma mais elementar, note que
ω:|X(ω)|≤t=ω:-t≤X(ω)≤t=ω:X(ω)≤t∩ω:X(ω)≥-t

Passo 4

Como {X≤t}∈F e {X≥-t}={-X≤t}∈F, a interseção também pertence a F. Logo |X| é mensurável e, portanto, variável aleatória.

Resposta

Logo, |X| é uma variável aleatória.

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