Mostre que
para todo
.
Dica: Use (2) e a desigualdade
que é verdadeira para todo
.
Dica: Use (2) e a desigualdade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a soma normalizada
de variáveis aleatórias independentes de valor ±1, vale a desigualdade de grande desvio
o que corresponde a uma forma básica do limite de Cramér para as variáveis de Rademacher. Para isso vamos usar a ideia de marcar um parâmetro exponencial, a desigualdade de Markov e a dica
Passo 2
Começamos aplicando a desigualdade de Markov exponencial. Para qualquer
vale
$$\mathrm{P}\bigl[s_n\ge n\epsilon\bigr]=\mathrm{P}\bigl[e^{\lambda s_n}\ge e^{\lambda n\epsilon}\bigr]\le \frac{\mathbb{E}[e^{\lambda s_n}]}{e^{\lambda n\epsilon}}.
$$
Esse truque explora que raiar eventos raros pela cauda positiva vira controle de momento gerador.
Passo 3
Como as
são independentes e tomam só valores
, temos
onde na desigualdade usamos a dica
.
Passo 4
Substituindo esse limite na Markov exponencial, obtemos para a cauda positiva
Agora escolhemos
para minimizar o expoente
.
Passo 5
A minimização em
cai no cálculo de derivada:
Substituindo
dá
$$\mathrm{P}\bigl[s_n/n\ge\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}.
$$
Passo 6
Para a cauda negativa, fazemos o mesmo raciocínio com
e chegamos a
$$\mathrm{P}\bigl[s_n/n\le -\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}.
$$
Aplicando a desigualdade de união (soma das probabilidades das duas caudas), temos
$$\mathrm{P}\bigl[|s_n/n|\ge\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}+e{-n\epsilon2/2}=2e{-n\epsilon2/2}.
$$
Passo 7
Assim concluímos a desigualdade pedida.