Mostre que
P[|sn / n| >= epsilon] <= 2 e^-n epsilon^2 / 2
para todo epsilon>0.
Dica: Use (2) e a desigualdade x in R que é verdadeira para todo .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a soma normalizada sn/n de variáveis aleatórias independentes de valor ±1, vale a desigualdade de grande desvio
Pl[|sn/n|>=epsilonr]<=2,e^-nepsilon^2/2,
o que corresponde a uma forma básica do limite de Cramér para as variáveis de Rademacher. Para isso vamos usar a ideia de marcar um parâmetro exponencial, a desigualdade de Markov e a dica
e^x+e^-x2<= e^x^2/2

Passo 2

Começamos aplicando a desigualdade de Markov exponencial. Para qualquer lambda>0 vale
$$\mathrm{P}\bigl[s_n\ge n\epsilon\bigr]=\mathrm{P}\bigl[e^{\lambda s_n}\ge e^{\lambda n\epsilon}\bigr]\le \frac{\mathbb{E}[e^{\lambda s_n}]}{e^{\lambda n\epsilon}}.
$$
Esse truque explora que raiar eventos raros pela cauda positiva vira controle de momento gerador.

Passo 3

Como as Xi são independentes e tomam só valores pm1, temos
E[e^lambda sn]=l(E[e^lambda X1]r)^n =l(tfrace^lambda+e^-lambda2r)^n <=l(e^lambda^2/2r)^n=e^nlambda^2/2,
onde na desigualdade usamos a dica (e^x+e^-x)/2<= e^x^2/2.

Passo 4

Substituindo esse limite na Markov exponencial, obtemos para a cauda positiva
Pl[sn/n>=epsilonr]<= expl(ntfraclambda^22 -lambda nepsilonr) =expl(n(tfraclambda^22-lambdaepsilon)r)
Agora escolhemos lambda para minimizar o expoente tfraclambda^22-lambdaepsilon.

Passo 5

A minimização em lambda cai no cálculo de derivada:
ddlambdal(tfraclambda^22-lambdaepsilonr)=lambda-epsilon=0 Rightarrowlambda=epsilon
Substituindo lambda=epsilon
$$\mathrm{P}\bigl[s_n/n\ge\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}.
$$

Passo 6

Para a cauda negativa, fazemos o mesmo raciocínio com -sn e chegamos a
$$\mathrm{P}\bigl[s_n/n\le -\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}.
$$
Aplicando a desigualdade de união (soma das probabilidades das duas caudas), temos
$$\mathrm{P}\bigl[|s_n/n|\ge\epsilon\bigr]\le e{-n\epsilon2/2}+e{-n\epsilon2/2}=2e{-n\epsilon2/2}.
$$

Passo 7

Assim concluímos a desigualdade pedida.

Resposta

P[|sn/n|>=epsilon]<=2,e^-nepsilon^2/2

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