In each of Problems 19 through 22 show that the given equation is not exact but becomes exact when multiplied by the given integrating factor. Then solve the equation.
(x+2) sin y d x+x cos y d y=0, mu(x, y)=x e^x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x+2)sin y,dx + xcos y,dy = 0
e dá o fator de integração mu(x,y)=x e^x. Vamos primeiro verificar que a equação não é exata e depois mostrar que, ao multiplicá-la por mu, ela se torna exata, para em seguida determinar a solução geral.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = (x+2)sin y, N(x,y)=xcos y
Calculamos
partial Mpartial y = (x+2)cos y, partial Npartial x = cos y
Como (x+2)cos y neq cos y em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos ambos os termos por mu(x,y)=x e^x. Isso leva a
widetilde M(x,y) = x e^x(x+2)sin y, widetilde N(x,y) = x e^x,xcos y = x^2e^xcos y,
e a equação equivalente
widetilde M,dx + widetilde N,dy = 0

Passo 4

Verificamos agora a exatidão da nova equação:
partial widetilde Mpartial y = x e^x(x+2)cos y, partial widetilde Npartial x = cos y;ddx(x^2e^x) = cos y;x e^x(x+2)
Como os dois são iguais, a equação multiplicada é exata.

Passo 5

Por exatidão existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = widetilde M(x,y)
Integramos em x:
psi(x,y) = integral x e^x(x+2)sin y ,dx + h(y) = sin y integral e^x(x^2+2x),dx + h(y)
Usando integração por partes (ou fórmula conhecida),
integral (x^2+2x)e^x,dx = x^2e^x,
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psi(x,y) = x^2e^xsin y + h(y)

Passo 6

Para determinar h(y) usamos
partial psipartial y = x^2e^xcos y + h'(y) stackrel!= widetilde N = x^2e^xcos y,
o que implica h'(y)=0 e, portanto, h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2e^xsin y = C,
com C constante arbitrária.

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