In each of Problems 19 through 22 show that the given equation is not exact but becomes exact when multiplied by the given integrating factor. Then solve the equation.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e dá o fator de integração
. Vamos primeiro verificar que a equação não é exata e depois mostrar que, ao multiplicá-la por
, ela se torna exata, para em seguida determinar a solução geral.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos ambos os termos por
. Isso leva a
e a equação equivalente
Passo 4
Verificamos agora a exatidão da nova equação:
Como os dois são iguais, a equação multiplicada é exata.
Passo 5
Por exatidão existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Usando integração por partes (ou fórmula conhecida),
logo
Passo 6
Para determinar
usamos
o que implica
e, portanto,
é constante.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
com
constante arbitrária.