In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
4 x+3 y+17 z=0
5 x+4 y+22 z=0
4 x+2 y+19 z=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 4x+3y+17z=0\\[4pt] 5x+4y+22z=0\\[4pt] 4x+2y+19z=0 \end{cases}
O que se pede:
  • declarar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução;
  • resolver o sistema;
  • dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]

Passo 2

Por que o sistema tem pelo menos uma solução?
Qualquer sistema homogêneo (ou seja, da forma A\mathbf{v}=\mathbf{0}) tem sempre a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Aqui isso significa que x=0,\;y=0,\;z=0 satisfaz todas as equações. Portanto já existe pelo menos uma solução.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema por eliminação de Gauss. Escrevendo a matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 17\\[4pt] 5 & 4 & 22\\[4pt] 4 & 2 & 19 \end{pmatrix}.
Trabalharemos nas linhas da matriz associada ao sistema homogêneo.]

Passo 4

Escolhe-se a primeira linha como pivô e elimina-se a primeira coluna nas linhas 2 e 3:
  • R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{5}{4}R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1.
Aplicando essas operações obtemos
\begin{pmatrix} 4 & 3 & 17\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{4}\\[4pt] 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para evitar frações, multiplicamos a segunda linha por 4:
R_2 \leftarrow 4R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 4 & 3 & 17\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Eliminamos a entrada -1 da terceira linha na segunda coluna somando a segunda linha à terceira:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 4 & 3 & 17\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Agora a matriz está triangular superior, correspondendo ao sistema escalonado:
\begin{cases} 4x+3y+17z=0\\[4pt] y+3z=0\\[4pt] 5z=0 \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo por substituição da última equação para cima:
  • Da terceira equação: 5z=0 implica z=0.
  • Substituindo na segunda: y+3\cdot 0=0 implica y=0.
  • Substituindo na primeira: 4x+3\cdot 0+17\cdot 0=0 implica x=0.
Logo a única solução encontrada pela eliminação é x=0,\;y=0,\;z=0.

Passo 8

(Verificação alternativa) Pode-se também notar que o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o que garante unicidade da solução do sistema homogêneo. Calculando o determinante:
\det(A)=4\begin{vmatrix}4&22\\[4pt]2&19\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}5&22\\[4pt]4&19\end{vmatrix}+17\begin{vmatrix}5&4\\[4pt]4&2\end{vmatrix}=128-21-102=5\neq0.
Como \det(A)\neq0, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial.]

Resposta

O sistema tem pelo menos uma solução porque é homogêneo (a solução trivial x=0,\;y=0,\;z=0 sempre existe).
Solução: (x,y,z)=(0,0,0). Exatamente uma solução (única).

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