In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
4 x+3 y+17 z=0
5 x+4 y+22 z=0
4 x+2 y+19 z=0
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
declarar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução;
resolver o sistema;
dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]
Passo 2
Por que o sistema tem pelo menos uma solução?
Qualquer sistema homogêneo (ou seja, da forma A\mathbf{v}=\mathbf{0}) tem sempre a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Aqui isso significa que x=0,\;y=0,\;z=0 satisfaz todas as equações. Portanto já existe pelo menos uma solução.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema por eliminação de Gauss. Escrevendo a matriz dos coeficientes:
Resolvendo por substituição da última equação para cima:
Da terceira equação: 5z=0 implica z=0.
Substituindo na segunda: y+3\cdot 0=0 implica y=0.
Substituindo na primeira: 4x+3\cdot 0+17\cdot 0=0 implica x=0.
Logo a única solução encontrada pela eliminação é x=0,\;y=0,\;z=0.
Passo 8
(Verificação alternativa) Pode-se também notar que o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o que garante unicidade da solução do sistema homogêneo. Calculando o determinante:
Como \det(A)\neq0, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial.]
Resposta
O sistema tem pelo menos uma solução porque é homogêneo (a solução trivial x=0,\;y=0,\;z=0 sempre existe).
Solução: (x,y,z)=(0,0,0). Exatamente uma solução (única).