In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=sin (2 x) at a=pi2

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 de f(x)=sin(2x) em torno de a=tfracpi2. Vamos usar a fórmula
P2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2(x-a)^2,
portanto precisamos de f(a), f'(a) e f''(a).

Passo 2

Calcular f(a). Como a=tfracpi2,
f(a)=sinl(2ar)=sin(pi)=0

Passo 3

Obter f'(x) e avaliar em a. Temos
f'(x)=2cos(2x),
logo
f'(a)=2cosl(2cdottfracpi2r)=2cos(pi)=-2

Passo 4

Obter f''(x) e avaliar em a. Derivando de novo,
f''(x)=-4sin(2x),
portanto
f''(a)=-4sin(pi)=0

Passo 5

Substituindo na fórmula de P2:
P2(x)=0 + (-2),(x-tfracpi2) + 02,(x-tfracpi2)^2 =-2l(x-tfracpi2r)

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 é
P2(x)=-2l(x-pi2r),
que pode ser escrito também como P2(x)=-2x+pi.

Exercícios relacionados