Se
é antissimétrica então
é simétrica.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é antissimétrica. - Pedido: mostrar que
é simétrica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- “Antissimétrica” significa que a transposta de
é o negativo de . Ou seja, temos a igualdade que usaremos muitas vezes:
Passo 2
Definições (explicadas sem pular etapas):
- Uma matriz
é simétrica quando sua transposta é igual a ela mesma. Formalmente:
- Uma matriz
é antissimétrica (ou skew-symmetric) quando sua transposta é o negativo dela:
No nosso problema
satisfaz a última propriedade.
Passo 3
Propriedades do operador transposta que vamos usar (cada uma com explicação simples):
- Transposta do produto: para duas matrizes compatíveis
e ,
Explicação: transpor inverte a ordem dos fatores; pense que linhas viram colunas, então a multiplicação fica “ao contrário”. Isso vale para qualquer produto de matrizes quando as dimensões permitem.
2) Transposta de transposta: para qualquer matriz ,
2) Transposta de transposta: para qualquer matriz
Explicação: aplicar transposta duas vezes devolve a matriz original.
3) Transposta de um escalar vezes matriz: para escalar e matriz
,
3) Transposta de um escalar vezes matriz: para escalar
Explicação: o escalar sai da transposição.
Vamos usar a propriedade 1) com
para relacionar
com
.
Passo 4
Cálculo direto e passo a passo de
:
Aplicando a propriedade do passo anterior para ,
Aplicando a propriedade do passo anterior para
Agora usamos que
é antissimétrica, ou seja
. Substituindo:
Usando a propriedade de escalar (aqui o
é um escalar) e multiplicação:
Portanto chegamos à igualdade
Passo 5
Interpretação do resultado e conclusão didática:
A igualdade diz exatamente que
é simétrica, pela definição de matriz simétrica. Assim mostramos o que o enunciado pedia. O raciocínio foi curto porque as propriedades da transposta tornam o cálculo direto: transpor um produto inverte a ordem e a antissimetria
faz com que o sinal se anule ao quadrar.
A igualdade
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Considere e a matriz antissimétrica genérica
Considere
Calcule
:
Note que
, então
é simétrica (neste caso é até um múltiplo da identidade). Esse exemplo ilustra concretamente a propriedade mostrada acima.]
Resposta
Verdadeiro:
é simétrica.