Se A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) é antissimétrica então A^{2} é simétrica.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) é antissimétrica.
  • Pedido: mostrar que A^{2} é simétrica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • “Antissimétrica” significa que a transposta de A é o negativo de A. Ou seja, temos a igualdade que usaremos muitas vezes:
A^{T} = -A.

Passo 2

Definições (explicadas sem pular etapas):
  • Uma matriz M é simétrica quando sua transposta é igual a ela mesma. Formalmente:
M \text{ é simétrica} \quad\Longleftrightarrow\quad M^{T}=M.éé
  • Uma matriz N é antissimétrica (ou skew-symmetric) quando sua transposta é o negativo dela:
N \text{ é antissimétrica} \quad\Longleftrightarrow\quad N^{T}=-N.éé
No nosso problema A satisfaz a última propriedade.

Passo 3

Propriedades do operador transposta que vamos usar (cada uma com explicação simples):
  1. Transposta do produto: para duas matrizes compatíveis X e Y,
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Explicação: transpor inverte a ordem dos fatores; pense que linhas viram colunas, então a multiplicação fica “ao contrário”. Isso vale para qualquer produto de matrizes quando as dimensões permitem.
2) Transposta de transposta: para qualquer matriz X,
(X^{T})^{T}=X.
Explicação: aplicar transposta duas vezes devolve a matriz original.
3) Transposta de um escalar vezes matriz: para escalar \lambda\in\mathbb{R} e matriz X,
(\lambda X)^{T}=\lambda X^{T}.
Explicação: o escalar sai da transposição.
Vamos usar a propriedade 1) com X=Y=A para relacionar (A^{2})^{T} com A^{T}.

Passo 4

Cálculo direto e passo a passo de (A^{2})^{T}:
Aplicando a propriedade do passo anterior para X=Y=A,
(A^{2})^{T}=(AA)^{T}=A^{T}A^{T}=(A^{T})^{2}.
Agora usamos que A é antissimétrica, ou seja A^{T}=-A. Substituindo:
(A^{2})^{T}=(A^{T})^{2}=(-A)^{2}.
Usando a propriedade de escalar (aqui o -1 é um escalar) e multiplicação:
(-A)^{2}=(-1)^{2}A^{2}=1\cdot A^{2}=A^{2}.
Portanto chegamos à igualdade
(A^{2})^{T}=A^{2}.

Passo 5

Interpretação do resultado e conclusão didática:
A igualdade (A^{2})^{T}=A^{2} diz exatamente que A^{2} é simétrica, pela definição de matriz simétrica. Assim mostramos o que o enunciado pedia. O raciocínio foi curto porque as propriedades da transposta tornam o cálculo direto: transpor um produto inverte a ordem e a antissimetria A^{T}=-A faz com que o sinal se anule ao quadrar.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
Considere n=2 e a matriz antissimétrica genérica
A=\begin{pmatrix}0 & -b\\[4pt] b & 0\end{pmatrix},\qquad b\in\mathbb{R}.
Calcule A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & -b\\[4pt] b & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -b\\[4pt] b & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-b^{2} & 0\\[4pt] 0 & -b^{2}\end{pmatrix}.
Note que (A^{2})^{T}=A^{2}, então A^{2} é simétrica (neste caso é até um múltiplo da identidade). Esse exemplo ilustra concretamente a propriedade mostrada acima.]

Resposta

Verdadeiro: A^{2} é simétrica.

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