Se
, prove que exatamente um dos números
, ou
é múltiplo de 4 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, dentre os quatro números
exatamente um é múltiplo de 4.
O conteúdo usado será aritmética modular módulo 4, observando que ,
e
.
O conteúdo usado será aritmética modular módulo 4, observando que
Passo 2
Calculamos as classes de resto desses incrementos módulo 4:
Logo, em
temos
Assim o conjunto de restos dos quatro números é
Passo 3
Mostramos que
são todos distintos em
. De fato, se para dois índices
tivéssemos
então
. Mas
força
, isto é,
. Portanto não há colisão de restos e os quatro valores preenchem todas as classes
em
.
Passo 4
Como
cobre exatamente as quatro classes mod 4, exatamente um deles é congruente a
. Esse número é múltiplo de 4, e os outros três não são.
Resposta
Exatamente um dos números
é múltiplo de 4.