Se a \in \mathbb{Z}, prove que exatamente um dos números a, a+9, a+18, ou a+27 é múltiplo de 4 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a, dentre os quatro números
a,\quad a+9,\quad a+18,\quad a+27
exatamente um é múltiplo de 4.
O conteúdo usado será aritmética modular módulo 4, observando que 9\equiv1, 18\equiv2 e 27\equiv3\pmod4.

Passo 2

Calculamos as classes de resto desses incrementos módulo 4:
9\equiv1\pmod4,\qquad 18\equiv2\pmod4,\qquad 27\equiv3\pmod4.
Logo, em \mathbb{Z}_4 temos
a+9\equiv a+1,\quad a+18\equiv a+2,\quad a+27\equiv a+3.
Assim o conjunto de restos dos quatro números é
\{\,a,\;a+1,\;a+2,\;a+3\}\pmod4.

Passo 3

Mostramos que a,a+1,a+2,a+3 são todos distintos em \mathbb{Z}_4. De fato, se para dois índices i,j\in\{0,1,2,3\} tivéssemos
a+i\equiv a+j\pmod4,
então (i-j)\equiv0\pmod4. Mas |i-j|\le3 força i-j=0, isto é, i=j. Portanto não há colisão de restos e os quatro valores preenchem todas as classes \{0,1,2,3\} em \mathbb{Z}_4.

Passo 4

Como \{a,a+1,a+2,a+3\} cobre exatamente as quatro classes mod 4, exatamente um deles é congruente a 0\pmod4. Esse número é múltiplo de 4, e os outros três não são.

Resposta

Exatamente um dos números a,\;a+9,\;a+18,\;a+27 é múltiplo de 4.

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