Questão 6 (1 ponto extra).
Um estudante esqueceu a Regra do Produto para a derivada e cometeu o erro de pensar que (f g)^{\prime}=f^{\prime} g^{\prime}. Contudo, ele teve sorte e obteve a resposta certa. A funçāo f que ele usou era f(x)=e^{x^{2}} e o domínio de seu problema era o intervalo \left(\frac{1}{2}, \infty\right). Qual era a função g ?

Passo 1

O enunciado diz que o estudante tinha
f(x)=e^{x^2},\quad x>\tfrac12
e, por engano, usou
(fg)' = f'\,g'
mas mesmo assim obteve o resultado correto. Isso só é possível se, de fato,
f'(x)\,g'(x)=\bigl(f(x)\,g(x)\bigr)'.

Passo 2

Escrevemos a condição
f'(x)\,g'(x) \;=\; \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)'
e aplicamos a regra do produto no lado direito:
\bigl(fg\bigr)' = f'\,g + f\,g'.
Portanto a igualdade vira
f'\,g' = f'\,g + f\,g'.

Passo 3

Reorganizamos para isolar g'. Subtraindo f\,g' de ambos os lados:
f'\,g' - f\,g' = f'\,g \;\Longrightarrow\; g'\,(f' - f) = f'\,g.
Desde que f'-f\neq0 (que de fato é o caso para f(x)=e^{x^2}), temos
\frac{g'}{g} = \frac{f'}{\,f'-f\,}.

Passo 4

Calculemos f' e f'-f. Como
f(x)=e^{x^2}, \quad f'(x)=2x\,e^{x^2},
então
f'(x)-f(x)=2x\,e^{x^2}-e^{x^2}=e^{x^2}(2x-1).
Logo
\frac{f'}{f'-f} =\frac{2x\,e^{x^2}}{e^{x^2}(2x-1)} =\frac{2x}{2x-1}.

Passo 5

A equação para g fica
\frac{g'}{g} = \frac{2x}{2x-1}.
Integramos ambos os lados em x:
\ln g(x) = \int \frac{2x}{2x-1}\,dx.
Fazendo divisão: 2x=(2x-1)+1, então
\int \frac{2x}{2x-1}\,dx = \int \Bigl(1 + \frac1{2x-1}\Bigr)\,dx = x + \tfrac12\ln\bigl|2x-1\bigr| + C.
Assim
\ln g(x)=x + \tfrac12\ln|2x-1| + C \;\Longrightarrow\; g(x)=K\,e^{x}\,\bigl|2x-1\bigr|^{1/2}.

Passo 6

No domínio x>\tfrac12 temos 2x-1>0, logo
g(x)=K\,e^{x}\,(2x-1)^{1/2}.
Podemos escolher K=1 para obter a forma mais simples.

Resposta

A função g é, para x>\tfrac12,
\boxed{g(x)=e^{x}\,\sqrt{2x-1}.}

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