Questão 6 (1 ponto extra).
Um estudante esqueceu a Regra do Produto para a derivada e cometeu o erro de pensar que (f g)^{\prime}=f^{\prime} g^{\prime}. Contudo, ele teve sorte e obteve a resposta certa. A funçāo f que ele usou era f(x)=e^{x^{2}} e o domínio de seu problema era o intervalo \left(\frac{1}{2}, \infty\right). Qual era a função g ?
Passo 1
O enunciado diz que o estudante tinha
f(x)=e^{x^2},\quad x>\tfrac12
e, por engano, usou
(fg)' = f'\,g'
mas mesmo assim obteve o resultado correto. Isso só é possível se, de fato,
f'(x)\,g'(x)=\bigl(f(x)\,g(x)\bigr)'.
Passo 2
Escrevemos a condição
f'(x)\,g'(x) \;=\; \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)'
e aplicamos a regra do produto no lado direito:
\bigl(fg\bigr)' = f'\,g + f\,g'.
Portanto a igualdade vira
f'\,g' = f'\,g + f\,g'.
Passo 3
Reorganizamos para isolar g'. Subtraindo f\,g' de ambos os lados: