Mostre que se a \in \mathbb{N} então a^{2}=8 c ou a^{2}=8 c+1 ou a^{2}=8 c+4, com c \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado a\in\mathbb{N}, o quadrado a^2 só pode ter as três formas
a^2 = 8c,\quad a^2 = 8c+1\quad\text{ou}\quad a^2 = 8c+4,
com c\in\mathbb{N}. O conteúdo é teoria de restos (resíduos) módulo 8. Vamos usar o algoritmo da divisão para tratar paridade de a.

Passo 2

Suponha que a seja par. Então existe b\in\mathbb{N} tal que
a = 2b \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 4b^2.
Agora dividimos b de novo em par ou ímpar:
  • Se b=2c, então
a^2 = 4(2c)^2 = 16c^2 = 8\bigl(2c^2\bigr),
que é da forma 8c'.
  • Se b=2c+1, então
b^2 = (2c+1)^2 = 4c(c+1)+1 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 4b^2 = 4\bigl(4c(c+1)+1\bigr) =16c(c+1)+4 =8\bigl(2c(c+1)\bigr)+4,
que é da forma 8c'+4.

Passo 3

Suponha que a seja ímpar. Então existe b\in\mathbb{N} tal que
a = 2b+1 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = (2b+1)^2 = 4b(b+1)+1.
Como b(b+1) é sempre par, existe c\in\mathbb{N} com b(b+1)=2c. Logo
a^2 = 4\bigl(2c\bigr)+1 = 8c+1,
que é da forma 8c+1.

Passo 4

Juntando os dois grandes casos (par e ímpar), vimos que todo a^2 cai exatamente numa destas categorias:
a^2 = 8c,\quad a^2 = 8c+4 \quad\text{ou}\quad a^2 = 8c+1.

Resposta

Mostramos que, para todo a\in\mathbb{N}, existem c\in\mathbb{N} tais que
a^2 = 8c,\quad a^2 = 8c+1 \quad\text{ou}\quad a^2 = 8c+4.

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