Mostre que se
então
ou
ou
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
, o quadrado
só pode ter as três formas
com
. O conteúdo é teoria de restos (resíduos) módulo 8. Vamos usar o algoritmo da divisão para tratar paridade de
.
Passo 2
Suponha que
seja par. Então existe
tal que
Agora dividimos
de novo em par ou ímpar:
- Se
, então
que é da forma
.
- Se
, então
que é da forma
.
Passo 3
Suponha que
seja ímpar. Então existe
tal que
Como
é sempre par, existe
com
. Logo
que é da forma
.
Passo 4
Juntando os dois grandes casos (par e ímpar), vimos que todo
cai exatamente numa destas categorias:
Resposta
Mostramos que, para todo
, existem
tais que