Mostre que o cubo de um natural n mais o seu dobro é sempre divisível por 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo natural n, o número
n^3 + 2n
é divisível por 3.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular (congruências), em particular trabalhar com restos de divisão por 3.

Passo 2

Lembremos que dizer “ n^3+2n é divisível por 3” equivale a
n^3 + 2n \equiv 0 \pmod{3}.
Para verificar isso, vamos usar a divisão euclidiana de n por 3.

Passo 3

Escrevemos
n = 3q + r,\quad r\in\{0,1,2\}.
Então
n^3 = (3q+r)^3 = 27q^3 + 27q^2r + 9qr^2 + r^3.
Como 27q^3,27q^2r,9qr^2 são múltiplos de 3, fica
n^3 \equiv r^3 \pmod{3}.
Mas para r=0,1,2 vale
r^3 \equiv r \pmod{3},
porque 0^3=0, 1^3=1 e 2^3=8\equiv2\pmod{3}.
Logo
n^3 \equiv r \equiv n \pmod{3}.

Passo 4

Agora volte à expressão n^3 + 2n. Em módulo 3 temos
n^3 + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}.
Isso mostra que 3 divide n^3+2n para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo natural n, n^3 + 2n é divisível por 3.

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