Mostre que o cubo de um natural
mais o seu dobro é sempre divisível por 3 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo natural
, o número
é divisível por
.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular (congruências), em particular trabalhar com restos de divisão por .
O conteúdo principal aqui é aritmética modular (congruências), em particular trabalhar com restos de divisão por
Passo 2
Lembremos que dizer “
é divisível por
” equivale a
Para verificar isso, vamos usar a divisão euclidiana de
por
.
Passo 3
Escrevemos
Então
Como
são múltiplos de
, fica
Mas para
vale
porque
,
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Agora volte à expressão
. Em módulo
temos
Isso mostra que
divide
para todo
.
Resposta
Para todo natural
,
é divisível por
.