In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
d xd t=2 x+2 y
d yd t=x+3 y

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema dxdt=2x+2y, dydt=x+3y. É um sistema linear homogêneo de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 2 & 2 1 & 3
e calculamos o polinômio característico det(A - lambda I):
det(A - lambda I) = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 3

Resolvendo lambda^2 -5lambda +4=0, obtemos
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32,
logo lambda1=1 e lambda2=4.

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Da equação segue o autovetor .

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Da equação segue , e podemos escolher .

Passo 6

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:

Resposta

x(t) = -2C1 e^t + C2 e^4t, y(t) = C1 e^t + C2 e^4t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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