In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
d xd t=-4 x+2 y
d yd t=-52 x+2 y

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
dxdt = -4x + 2y, dydt = -tfrac52x + 2y
O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes 2times2. Para resolver, escrevemos o sistema na forma x'=Ax e seguimos os passos: determinar o polinômio característico de A, achar seus autovalores lambda e respectivos autovetores, e então montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema
A = -4 & 2 -tfrac52 & 2
e formamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =(-4-lambda)(2-lambda)-2l(-tfrac52r)
Ao expandir,
(-4-lambda)(2-lambda)+5 =lambda^2+2lambda-8+5 =lambda^2+2lambda-3

Passo 3

Resolvemos
lambda^2+2lambda-3=0
pela fórmula de Bhaskara:
lambda = -2pmraiz4+122 =-2pm42,
de onde
lambda1 = 1, lambda2 = -3

Passo 4

Para , resolvemos :
Um autovetor é .
Para , resolvemos :
Um autovetor é .

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares
isto é,
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

boxed x(t)=2C1,e^t+2C2,e^-3t, y(t)=5C1,e^t+C2,e^-3t

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