In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
d xd t=-52 x+2 y
d yd t=34 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes
d xd t=-52x+2y, d yd t=34x-2y
O método que vamos usar consiste em escrever o sistema na forma matricial X'=AX, calcular os autovalores de A resolvendo a equação característica, em seguida encontrar os autovetores associados e por fim compor a solução geral como combinação linear dos modos e^lambda t vezes cada autovetor.

Passo 2

Escrevemos
O traço e o determinante de são
A equação característica fica
Multiplicando por resulta
cuja solução é
]

Passo 3

Para resolvemos :
Um autovetor correspondente é .
Para resolvemos :
Um autovetor correspondente é .]

Passo 4

Como temos dois autovalores reais e distintos, a solução geral do sistema é
X(t)=C1,v1,e^lambda1 t+C2,v2,e^lambda2 t =C143e^-t +C2-21e^-tfrac72t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

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