In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
X^prime=(rr10 & -5 8 & -12) X

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais representado por:
X^prime = 10 & -5 8 & -12 X
Aqui, X é um vetor que depende do tempo t, e a matriz 10 & -5 8 & -12 nos dá as taxas de variação das componentes de X. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar X(t) de forma completa.

Passo 2

Para resolver esse sistema, vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes. O primeiro passo é encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz. Isso nos ajuda a entender como cada componente do sistema se comporta ao longo do tempo.

Passo 3

Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde A é a matriz dos coeficientes:
A = 10 & -5 8 & -12
E I é a matriz identidade de ordem 2:
I = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I:
A - lambda I = 10 - lambda & -5 8 & -12 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (10 - lambda)(-12 - lambda) - (-5)(8)
= (10 - lambda)(-12 - lambda) + 40
= lambda^2 + 2lambda - 80

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 + 2lambda - 80 = 0
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-80)2
lambda = -2 pm raiz4 + 3202
lambda = -2 pm raiz3242
lambda = -2 pm 182
Portanto, temos dois valores próprios:
lambda1 = 8 e lambda2 = -10

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios (ou autovetores) correspondentes a cada valor próprio.
Para lambda1 = 8:
Substituímos na equação (A - lambda I)v = 0:
10 - 8 & -5 8 & -12 - 8 v1 v2 = 2 & -5 8 & -20 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
2v1 - 5v2 = 0
8v1 - 20v2 = 0
Podemos simplificar a primeira equação:
v1 = 52v2
Escolhendo v2 = 2, temos v1 = 5. Então, o vetor próprio é:
v1 = 5 2

Passo 7

Para lambda2 = -10, fazemos o mesmo processo:
A - (-10)I = A + 10I = 20 & -5 8 & -2
Resolvendo (A + 10I)v = 0:
20v1 - 5v2 = 0
8v1 - 2v2 = 0
Simplificando a primeira equação:
4v1 = v2
Escolhendo v1 = 1, temos v2 = 4. Então, o vetor próprio é:
v2 = 1 4

Passo 8

Agora que temos os valores próprios e os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores encontrados:
X(t) = C1 e^8t 5 2 + C2 e^-10t 1 4
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é
X(t) = C1 e^8t 5 2 + C2 e^-10t 1 4 ,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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