In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais representado por:
X^prime = 10 & -5 8 & -12 X
Aqui, X é um vetor que depende do tempo t, e a matriz 10 & -5 8 & -12 nos dá as taxas de variação das componentes de X. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar X(t) de forma completa.
Passo 2
Para resolver esse sistema, vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes. O primeiro passo é encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz. Isso nos ajuda a entender como cada componente do sistema se comporta ao longo do tempo.
Passo 3
Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Escolhendo v2 = 2, temos v1 = 5. Então, o vetor próprio é:
v1 = 5 2
Passo 7
Para lambda2 = -10, fazemos o mesmo processo:
A - (-10)I = A + 10I = 20 & -5 8 & -2
Resolvendo (A + 10I)v = 0:
20v1 - 5v2 = 0
8v1 - 2v2 = 0
Simplificando a primeira equação:
4v1 = v2
Escolhendo v1 = 1, temos v2 = 4. Então, o vetor próprio é:
v2 = 1 4
Passo 8
Agora que temos os valores próprios e os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores encontrados:
X(t) = C1 e^8t 5 2 + C2 e^-10t 1 4
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.