In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais dado por X^prime = A X, onde A é a matriz:
A = -1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1
Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente encontrando os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz A. Com esses, podemos montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz A. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.
Agora, precisamos resolver a equação cúbica lambda^3 -7lambda -6 =0 para encontrar os valores de lambda.
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para lambda são divisores de 6 (coeficiente constante), ou seja, pm1, pm2, pm3, pm6.
Testando lambda = -1:
(-1)^3 -7(-1) -6 = -1 +7 -6 =0
Então, lambda = -1 é uma raiz.
Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar o polinômio:
Agora que temos os valores próprios lambda1 = -1, lambda2 = 3 e lambda3 = -2, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada lambda.
Para cada lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = -1:
A - (-1)I = 0 & 1 & 0 1 & 3 &1 0 & 3 &0
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v1 = 1 0 -1.
Para lambda2 =3:
A -3I = -4 &1 &0 1 &-1 &1 0 &3 &-4
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v2 = 1 2 3.
Para lambda3 = -2:
A - (-2)I = 1 &1 &0 1 &4 &1 0 &3 &1
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v3 = 1 -1 1.
Passo 6
Com os valores e vetores próprios em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada lambda:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3