In Problems 1-12 find the general solution of the given system.
X^prime=(rrr-1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1) X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais dado por X^prime = A X, onde A é a matriz:
A = -1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1
Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente encontrando os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz A. Com esses, podemos montar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz A. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade e lambda representa os valores próprios.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = -1 - lambda & 1 & 0 1 & 2 - lambda & 1 0 & 3 & -1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 3 & -1 - lambda - 1 cdot det 1 & 1 0 & -1 - lambda + 0 cdot det 1 & 2 - lambda 0 & 3
Simplificando:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)[(2 - lambda)(-1 - lambda) - 3 cdot 1] - 1[(1)(-1 - lambda) - (0)(1)]
= (-1 - lambda)[( -2 -2lambda + lambda + lambda^2 ) - 3] - 1[-1 - lambda]
= (-1 - lambda)(lambda^2 - lambda -5) + 1 + lambda
= -lambda^3 + lambda^2 +5lambda - lambda^2 + lambda +5 +1 + lambda
= -lambda^3 + 7lambda +6
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 7lambda +6 = 0 ou lambda^3 -7lambda -6 =0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação cúbica lambda^3 -7lambda -6 =0 para encontrar os valores de lambda.
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para lambda são divisores de 6 (coeficiente constante), ou seja, pm1, pm2, pm3, pm6.
Testando lambda = -1:
(-1)^3 -7(-1) -6 = -1 +7 -6 =0
Então, lambda = -1 é uma raiz.
Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar o polinômio:
lambda^3 -7lambda -6 = (lambda +1)(lambda^2 - lambda -6)
Agora, resolvemos lambda^2 - lambda -6 =0:
lambda = 1 pm raiz1 +242 = 1 pm52
Então,
lambda2 = 3 e lambda3 = -2

Passo 5

Agora que temos os valores próprios lambda1 = -1, lambda2 = 3 e lambda3 = -2, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada lambda.
Para cada lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = -1:
A - (-1)I = 0 & 1 & 0 1 & 3 &1 0 & 3 &0
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v1 = 1 0 -1.
Para lambda2 =3:
A -3I = -4 &1 &0 1 &-1 &1 0 &3 &-4
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v2 = 1 2 3.
Para lambda3 = -2:
A - (-2)I = 1 &1 &0 1 &4 &1 0 &3 &1
Resolvendo, obtemos o vetor próprio v3 = 1 -1 1.

Passo 6

Com os valores e vetores próprios em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada lambda:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3
Onde c1, c2, c3 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = c1 e^-t 1 0 -1 + c2 e^3t 1 2 3 + c3 e^-2t 1 -1 1
Onde c1, c2, c3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados