Use o método dos coeficientes a determinar:
X^prime=(ll1 & 3 3 & 1) X+binom-2 t^2t+5

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
X' = 1 & 33 & 1 X + binom-2t^2,t+5,
e pede a solução geral X(t) usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
X' = A, X, A = 1 & 33 & 1
Os autovalores vêm de det(A-lambda I)=0:
det1-lambda & 33 & 1-lambda =(1-lambda)^2-9=lambda^2-2lambda-8=(lambda-4)(lambda+2)=0,
logo lambda1=4 e lambda2=-2.
Para lambda1=4 um autovetor é 11.
Para lambda2=-2 um autovetor é 1-1.
Assim a solução homogênea é
Xh(t) =C111e^4t +C21-1e^-2t

Passo 3

Como o termo não homogêneo binom-2t^2,t+5, é polinomial de grau 2, suponhamos uma solução particular polinomial de grau 2:
Xp(t) = a1t^2+b1t+c1 a2t^2+b2t+c2
Então
Xp'(t) = 2a1t+b1 2a2t+b2
e
A, Xp = (a1+3a2),t^2+(b1+3b2),t+(c1+3c2) (3a1+a2),t^2+(3b1+b2),t+(3c1+c2)

Passo 4

Substituindo em
Igualando coeficientes de e termo constante, surgem seis equações lineares para .

Passo 5

Resolvendo esse sistema encontra-se
a1=-tfrac14, a2=tfrac34, b1=tfrac14, b2=-tfrac14, c1=-2, c2=tfrac34
Portanto
Xp(t) = -tfrac14t^2+tfrac14t-2[6pt] tfrac34t^2-tfrac14t+tfrac34 ]

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
X(t) =C111e^4t +C21-1e^-2t + -tfrac14t^2+tfrac14t-2[4pt] tfrac34t^2-tfrac14t+tfrac34 ]

Resposta

boxed X(t) =C111e^4t +C21-1e^-2t + -tfrac14t^2+tfrac14t-2[4pt] tfrac34t^2-tfrac14t+tfrac34 ]

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