O enunciado pede para resolver o sistema não-homogêneo
X' = A, X + g(t),
onde
A=0&1-1&0, g(t)=0sec ttan t,
usando o método da variação de parâmetros. Vamos primeiro encontrar a solução geral do sistema homogêneo X'=A X e a matriz fundamental, e depois aplicar a fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Resolvendo o homogêneo X'=A X, escrevemos X=(x1,x2)^T. O sistema é
x1' = x2, x2'=-x1
Isso dá a equação de segunda ordem x1'' + x1=0, cuja solução geral é
x1(t)=C1cos t + C2sin t, x2(t)=x1'(t)=-C1sin t + C2cos t
Dessa forma, uma matriz fundamental é
Phi(t) = cos t & sin t -sin t & cos t
Passo 3
A variação de parâmetros diz que uma solução particular é
Xp(t) =Phi(t)integral Phi(t)^-1, g(t),dt
Vamos calcular Phi(t)^-1 g(t).
Passo 4
Como Phi(t) é uma rotação, tem inversa
Phi(t)^-1 =cos t&-sin tsin t&cos t
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Phi^-1(t), g(t) =cos t&-sin tsin t&cos t 0sec ttan t = -sin tcdotsec ttan t cos tcdotsec ttan t = -,tan^2 t[6pt] tan t ]
Passo 5
Integramos componente a componente:
integral -tan^2 t,dt =-integral(sec^2 t -1),dt =-l(tan t - tr), integral tan t,dt =-lnl|cos tr|
Assim,
integral Phi^-1(t), g(t),dt = -,tan t + t[4pt] -,lnl|cos tr| ]
Passo 6
Multiplicando pela matriz fundamental obtemos a parte particular:
Xp(t) =Phi(t) -,tan t + t[4pt] -,lnl|cos tr| = cos t & sin t -sin t & cos t -,tan t + t[4pt] -,lnl|cos tr|
Fazendo as multiplicações:
x1p =-cos t,tan t + tcos t ;-;sin t,ln!l|cos tr| =-sin t + tcos t - sin t,ln!l|cos tr|,
x2p =sin t,tan t - tsin t ;-;cos t,ln!l|cos tr| =sin^2 tcos t-tsin t -cos t,ln!l|cos tr| ]
Passo 7
A solução geral do sistema é a soma da homogênea com a particular:
Em componentes,
Resposta
A solução geral é
boxed x1(t)&=C1cos t + C2sin t ;-;sin t + tcos t - sin t,ln!l|cos tr|, x2(t)&=-C1sin t + C2cos t ;+;sin^2 tcos t-tsin t -cos t,ln!l|cos tr|