Seja f(x, y)=x^3+x y^2-9 x definida em D=(x, y) tal que x^2+y^2 <= 4.
Determine os máximos e mínimos globais de f em D e os pontos onde ocorrem esses valores.

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=x^3 + x y^2 -9x definida no disco D: x^2+y^2<=4. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado: vamos precisar achar os pontos críticos no interior via gradiente e depois tratar a fronteira x^2+y^2=4.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos internos.$$f_x=3x2+y2-9,
\quad f_y=2xy.$$Da condição fx=3x^2+y^2-9, fy=2xy vem fy=0 ou x=0.

Passo 3

No caso x=0 teríamos fx=y^2-9=0, i.e. y=pm3, mas esses pontos estão fora de D (pois 3^2>4). Então só vale y=0, e daí 3x^2-9=0 leva a x=pmraiz3. Assim os críticos internos são (raiz3,0) e (-raiz3,0).

Passo 4

Avaliamos f nesses pontos: f(raiz3,0)= (raiz3)^3-9raiz3=3raiz3-9raiz3=-6raiz3,
f(-raiz3,0)=-(raiz3)^3+9raiz3=-3raiz3+9raiz3=6raiz3

Passo 5

Agora a fronteira é o círculo x^2+y^2=4. Como x^2+y^2=4, note que x^3+xy^2=x(x^2+y^2)=4x. Logo
f|x^2+y^2=4=4x-9x=-5x
Parametrizando x=2cos t f=-10cos t, que atinge máximo 10 em (x,y)=(-2,0) e mínimo -10 em (2,0).

Passo 6

Comparamos os valores: internos temos 6raiz3approx10,39 e -6raiz3approx-10,39; na fronteira temos 10 e -10. Os maiores e menores são os internos.

Resposta

Máximo global: f(-raiz3,0)=6raiz3, mínimo global: f(raiz3,0)=-6raiz3.

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