Seja
definida em
.
Determine os máximos e mínimos globais de
em
e os pontos onde ocorrem esses valores.
Determine os máximos e mínimos globais de
Passo 1
A gente tem a função
definida no disco
. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado: vamos precisar achar os pontos críticos no interior via gradiente e depois tratar a fronteira
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos internos.$$f_x=3x2+y2-9,
\quad f_y=2xy.$$Da condição
vem
ou
.
Passo 3
No caso
teríamos
, i.e.
, mas esses pontos estão fora de
(pois
). Então só vale
, e daí
leva a
. Assim os críticos internos são
e
.
Passo 4
Avaliamos
nesses pontos:
Passo 5
Agora a fronteira é o círculo
. Como
, note que
. Logo
Parametrizando
Passo 6
Comparamos os valores: internos temos
e
; na fronteira temos
e
. Os maiores e menores são os internos.
Resposta
Máximo global:
, mínimo global:
.