In Problems 1-16 find the Fourier series of rr1, & -1 on the given interval.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2 dada por
f(x)= 1,&-1
em que queremos expandir em série de Fourier no intervalo [-1,1]. Vamos usar a teoria de séries de Fourier em funções de período 2L com L=1.

Passo 2

As fórmulas para os coeficientes da série de Fourier em [-1,1] são:
a0=1Lintegral-L^L f(x),dx=integral-1^1 f(x),dx,
an=1Lintegral-L^L f(x)cos(npi x/L),dx=integral-1^1 f(x)cos(npi x),dx,
bn=1Lintegral-L^L f(x)sin(npi x/L),dx=integral-1^1 f(x)sin(npi x),dx
A série resultante será
f(x)sima02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)

Passo 3

Calculamos a_0 separando em duas integrais:
integral-1^1 f(x),dx=integral-1^0 1,dx+integral0^1 x,dx=(0-(-1))+(tfrac12-0)=1+tfrac12=tfrac32
Logo
a0=tfrac32E portanto a02=tfrac34

Passo 4

Para an notamos que
integral-1^0cos(npi x),dx=0
pois sin(nπ)=0. Só resta
an=integral0^1 xcos(npi x),dx
Fazendo integração por partes com u=x e dv=\cos(nπx)dx, obtemos
an=(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 5

Para b_n escrevemos
bn=integral-1^0sin(npi x),dx+integral0^1 xsin(npi x),dx
A primeira integral dá (-1)^n-1npi e, por partes, a segunda dá -tfrac(-1)^nnpi. Somando, simplifica para
bn=-1npi

Passo 6

Substituindo em
f(x)=34+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)
obtemos a série de Fourier completa.

Resposta

A série de Fourier de f(x) em [-1,1] é
f(x)=34+sumn=1^inftyl((-1)^n-1n^2pi^2cos(npi x)-1npisin(npi x)r)

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