In Problems 1-16 find the Fourier series of
on the given interval.
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período 2 dada por
f(x)=
em que queremos expandir em série de Fourier no intervalo [-1,1]. Vamos usar a teoria de séries de Fourier em funções de período 2L com L=1.
Passo 2
As fórmulas para os coeficientes da série de Fourier em [-1,1] são:
A série resultante será
Passo 3
Calculamos a_0 separando em duas integrais:
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Passo 4
Para an notamos que
pois sin(nπ)=0. Só resta
Fazendo integração por partes com u=x e dv=\cos(nπx)dx, obtemos
Passo 5
Para b_n escrevemos
A primeira integral dá
e, por partes, a segunda dá
. Somando, simplifica para
Passo 6
Substituindo em
obtemos a série de Fourier completa.
Resposta
A série de Fourier de f(x) em [-1,1] é