In Problems 1-16 find the Fourier series of rr-1, & -pi on the given interval.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo de f(x) a -pi. Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Para isso, precisamos calcular alguns coeficientes que vão compor essa série. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita assim:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) )
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes das partes cosseno e seno, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $. Esse coeficiente representa a média da função no intervalo dado e é calculado pela fórmula:
a0
Vamos integrar a função em suas duas partes:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx
Calculando as integrais:
a0 = 1pi ( integral-pi^0 (-1) , dx + integral0^pi 2 , dx )

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $.
Para $ a_n $:
an
Dividindo a integral:
bn
Integrando:
an
Calculando os limites:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Como an = 1pi ( integral-pi^0 (-1) cos(nx) , dx + integral0^pi 2 cos(nx) , dx ) para todo inteiro $ n $:
an = 1pi ( [ -sin(nx)n ]-pi^0 + [ 2sin(nx)n ]0^pi )
Para $ b_n $:
an = 1pi ( ( 0 - ( -sin(-npi)n ) ) + ( 2sin(npi)n - 0 ) )
Dividindo a integral:
sin(npi) = 0
Integrando:
n
Calculando os limites:
an = 0
Simplificando, lembrando que bn :
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Notando que bn = 1pi ( integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx + integral0^pi 2 sin(nx) , dx ) :
bn = 1pi ( [ cos(nx)n ]-pi^0 + [ -2cos(nx)n ]0^pi )

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo f(x) a -pi é:
pi

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