In Problems 1-16 find the Fourier series of
on the given interval.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo de
a
. Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma de funções senoidais e cossenoidais. Para isso, precisamos calcular alguns coeficientes que vão compor essa série. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como montar a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita assim:
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes das partes cosseno e seno, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $. Esse coeficiente representa a média da função no intervalo dado e é calculado pela fórmula:
Vamos integrar a função em suas duas partes:
Calculando as integrais:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $.
Para $ a_n $:
Dividindo a integral:
Integrando:
Calculando os limites:
Como
para todo inteiro $ n $:
Para $ b_n $:
Dividindo a integral:
Integrando:
Calculando os limites:
Simplificando, lembrando que
:
Notando que
:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo
a
é: