In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
f(x)= 0, & 0<x<12 1, & 12 <= x<1

Passo 1

O enunciado dá
f(x)= 0,&0<x<tfrac12, 1,&tfrac12<= x<1
e pede as séries de meio–intervalo em cosseno (extensão par) e em seno (extensão ímpar) em (0,1). Vamos usar as fórmulas
a0=2integral0^1f(x),dx, an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx,
bn=2integral0^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 2

Cálculo dos coeficientes de cosseno.
a0=2integral0^1f(x),dx=2integral1/2^1 1,dx=1,
e para n>=1
an=2integral1/2^1cos(npi x),dx =2npil[sin(npi x)r]1/2^1 =-2npi,sin!l(tfracnpi2r)

Passo 3

A série de cossenos é
f(x)sim a02+sumn=1^infty ancos(npi x)
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f(x)=12-sumn=1^infty2npisin!l(tfracnpi2r)cos(npi x)
Como sin(tfracnpi2)=0 para n par e sin(tfrac(2m+1)pi2)=(-1)^m, fica
f(x) =12+summ=0^infty(-1)^m+1,2(2m+1)pi, cosl((2m+1)pi xr)

Passo 4

Cálculo dos coeficientes de seno. Para n>=1:
bn=2integral1/2^1sin(npi x),dx =-2npil[cos(npi x)r]1/2^1 =2npil(cos!tfracnpi2-(-1)^nr)

Passo 5

A série de senos é
f(x)simsumn=1^infty bnsin(npi x) =sumn=1^infty2npil(cos!tfracnpi2-(-1)^nr)sin(npi x)

Resposta

Série de cossenos (meio–intervalo, extensão par):
f(x) =12-sumn=1^infty2npisin!l(tfracnpi2r)cos(npi x) =12+summ=0^infty(-1)^m+12(2m+1)picosl((2m+1)pi xr)
Série de senos (meio–intervalo, extensão ímpar):
f(x) =sumn=1^infty2npil(cos!tfracnpi2-(-1)^nr)sin(npi x)

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