A incidência de doenças infectocontagiosas no Est.de S.Paulo, 1974, é apresentado a seguir. Que medida estatística (média, moda, mediana) você usaria para descrever esta tabela?
Tempo (horas)
N.de pacientes
0 ।-- 4
8
4 ।-- 8
15
8 ।-- 12
24
12 ।-- 16
20
16 ।-- 20
13
| Tempo (horas) | N.de pacientes |
| 0 ।-- 4 | 8 |
| 4 ।-- 8 | 15 |
| 8 ।-- 12 | 24 |
| 12 ।-- 16 | 20 |
| 16 ।-- 20 | 13 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com classes de tempo (em horas) e o número de pacientes em cada classe. Pergunta: qual medida estatística (média, mediana ou moda) eu usaria para descrever esses dados? Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Não há outras informações (por exemplo, valores individuais), então trataremos os dados como dados agrupados por classe contínua com amplitude uniforme
.
Passo 2
Vamos calcular a média aritmética aproximada para dados agrupados — primeiro ensino o conceito: para dados agrupados a média é estimada usando os pontos médios de cada classe (cada paciente é assumido como ocorrendo no ponto médio da sua classe). Fórmula usada:
onde
é a frequência da i-ésima classe e
é o ponto médio dessa classe.
Calculo dos pontos médios
e dos produtos
:
Frequências
:
. Produto
:
Soma das frequências:
Soma dos produtos:
Logo a média aproximada:
Passo 3
Agora explico e calculo a mediana para dados agrupados. Conceito: a mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para dados agrupados usamos interpolação linear dentro da classe mediana. Fórmula:
onde
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total de observações, -
é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude da classe.
Calculemos passo a passo. Primeiro
e
. Frequências acumuladas:
A primeira classe cuja frequência acumulada é
é a classe
(acum.=47), então essa é a classe mediana. Para ela:
Aplicando a fórmula:
(Obs.: se usar
em vez de
dá valor muito parecido, cerca de
h — não muda a conclusão.)
Passo 4
Agora a moda (medida de tendência central que corresponde ao valor com maior frequência). Para dados agrupados ensinarei o procedimento: primeiro identificamos a classe modal (a de maior frequência), depois usamos interpolação com a fórmula da moda aproximada:
onde
é a frequência da classe modal,
a frequência da classe anterior e
a da classe seguinte.
Aqui a maior frequência é
na classe
, então essa é a classe modal. Valores:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Comparando os três resultados obtidos:
Os três ficam muito próximos (cerca de
horas) porque a distribuição das frequências é razoavelmente simétrica em torno da classe
. Agora, falando de escolha prática: a média utiliza todas as informações (todas as frequências e os pontos médios), é eficiente e fácil de interpretar, mas é sensível a valores extremos (não é problema aqui porque os dados estão agrupados e sem classes extremas estranhas). A mediana é robusta a outliers e também tem boa interpretação (metade antes/metade depois). A moda mostra o intervalo mais frequente, útil se quisermos o tempo de maior ocorrência.
Neste caso específico, como as três medidas concordam muito bem, eu recomendaria usar a média aritmética como medida-descritiva principal porque:
- usa toda a informação disponível,
- é simples de relatar (
h), - e coincide praticamente com mediana e moda, confirmando a representatividade.
Além disso, sempre ao apresentar resultados em provas, vale mostrar pelo menos a média e a mediana (ou comentar que ambas são próximas), para demonstrar compreensão.
Força aí — deu trabalho, mas a resposta é estável: cerca de
horas é o centro da distribuição.
Resposta
Média aritmética
horas.