A incidência de doenças infectocontagiosas no Est.de S.Paulo, 1974, é apresentado a seguir. Que medida estatística (média, moda, mediana) você usaria para descrever esta tabela?
Tempo (horas) N.de pacientes
0 ।-- 4 8
4 ।-- 8 15
8 ।-- 12 24
12 ।-- 16 20
16 ।-- 20 13

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com classes de tempo (em horas) e o número de pacientes em cada classe. Pergunta: qual medida estatística (média, mediana ou moda) eu usaria para descrever esses dados? Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Tempo (horas)} & \text{N. de pacientes} \\\ \hline 0\text{ – }4 & 8\\\\ 4\text{ – }8 & 15\\\\ 8\text{ – }12 & 24\\\\ 12\text{ – }16 & 20\\\\ 16\text{ – }20 & 13 \end{array}
Não há outras informações (por exemplo, valores individuais), então trataremos os dados como dados agrupados por classe contínua com amplitude uniforme h=4.

Passo 2

Vamos calcular a média aritmética aproximada para dados agrupados — primeiro ensino o conceito: para dados agrupados a média é estimada usando os pontos médios de cada classe (cada paciente é assumido como ocorrendo no ponto médio da sua classe). Fórmula usada:
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe e x_i é o ponto médio dessa classe.
Calculo dos pontos médios x_i e dos produtos f_i x_i:
\begin{array}{l} \text{Classes e pontos médios: }0\text{–}4\rightarrow x_1=2,\;4\text{–}8\rightarrow x_2=6,\\\\ 8\text{–}12\rightarrow x_3=10,\;12\text{–}16\rightarrow x_4=14,\;16\text{–}20\rightarrow x_5=18. \end{array}é
Frequências f_i: 8,15,24,20,13. Produto f_i x_i:
8\cdot2=16,\;15\cdot6=90,\;24\cdot10=240,\;20\cdot14=280,\;13\cdot18=234.
Soma das frequências:
\sum f_i = 8+15+24+20+13=80.
Soma dos produtos:
\sum f_i x_i = 16+90+240+280+234=860.
Logo a média aproximada:
\bar{x}=\frac{860}{80}=10{,}75\\ \text{horas}.

Passo 3

Agora explico e calculo a mediana para dados agrupados. Conceito: a mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para dados agrupados usamos interpolação linear dentro da classe mediana. Fórmula:
\tilde{x}=L+\frac{\frac{N}{2}-F}{f_m}\,h,
onde
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • N=\sum f_i é o total de observações,
  • F é a frequência acumulada das classes anteriores à classe mediana,
  • f_m é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude da classe.
Calculemos passo a passo. Primeiro N=80 e N/2=40. Frequências acumuladas:
8,\;8+15=23,\;23+24=47,\;47+20=67,\;67+13=80.
A primeira classe cuja frequência acumulada é \ge 40 é a classe 8\text{–}12 (acum.=47), então essa é a classe mediana. Para ela:
L=8,\quad F=23\\ (\text{acum. antes da classe}),\quad f_m=24,\quad h=4.
Aplicando a fórmula:
\tilde{x}=8+\frac{40-23}{24}\cdot 4 = 8+\frac{17}{24}\cdot 4 = 8+\frac{68}{24}=8+2{,}8333\approx 10{,}83\\ \text{horas}.
(Obs.: se usar \frac{N+1}{2} em vez de \frac{N}{2} dá valor muito parecido, cerca de 10{,}92 h — não muda a conclusão.)

Passo 4

Agora a moda (medida de tendência central que corresponde ao valor com maior frequência). Para dados agrupados ensinarei o procedimento: primeiro identificamos a classe modal (a de maior frequência), depois usamos interpolação com a fórmula da moda aproximada:
\text{Moda}\approx L+\frac{f_m-f_{1}}{2f_m-f_{1}-f_{2}}\;h,
onde f_m é a frequência da classe modal, f_{1} a frequência da classe anterior e f_{2} a da classe seguinte.
Aqui a maior frequência é 24 na classe 8\text{–}12, então essa é a classe modal. Valores:
L=8,\quad f_m=24,\quad f_{1}=15\\ (\text{classe }4\text{–}8),\quad f_{2}=20\\ (\text{classe }12\text{–}16),\quad h=4.
Aplicando a fórmula:
\text{Moda}\approx 8+\frac{24-15}{2\cdot24-15-20}\cdot 4 = 8+\frac{9}{48-35}\cdot4 = 8+\frac{9}{13}\cdot4 = 8+\frac{36}{13}\approx 8+2{,}7692\approx 10{,}77\\ \text{horas}.

Passo 5

Comparando os três resultados obtidos:
\bar{x}\approx 10{,}75\\ \text{h},\quad \tilde{x}\approx 10{,}83\\ \text{h},\quad \text{Moda}\approx 10{,}77\\ \text{h}.
Os três ficam muito próximos (cerca de 10{,}8 horas) porque a distribuição das frequências é razoavelmente simétrica em torno da classe 8\text{–}12. Agora, falando de escolha prática: a média utiliza todas as informações (todas as frequências e os pontos médios), é eficiente e fácil de interpretar, mas é sensível a valores extremos (não é problema aqui porque os dados estão agrupados e sem classes extremas estranhas). A mediana é robusta a outliers e também tem boa interpretação (metade antes/metade depois). A moda mostra o intervalo mais frequente, útil se quisermos o tempo de maior ocorrência.
Neste caso específico, como as três medidas concordam muito bem, eu recomendaria usar a média aritmética como medida-descritiva principal porque:
  • usa toda a informação disponível,
  • é simples de relatar ( \bar{x}\approx 10{,}75 h),
  • e coincide praticamente com mediana e moda, confirmando a representatividade.
Além disso, sempre ao apresentar resultados em provas, vale mostrar pelo menos a média e a mediana (ou comentar que ambas são próximas), para demonstrar compreensão.
Força aí — deu trabalho, mas a resposta é estável: cerca de 10{,}8 horas é o centro da distribuição.

Resposta

Média aritmética \bar{x}\approx 10{,}75 horas.

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