Verifique se as funções abaixo são contínuas, caso contrário determine os pontos de descontinuidades.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x)= x^2-xx^2-1, & se xneq 1,[6pt] 1, & se x=1
Aqui o conteúdo é continuidade de função definida por partes e limites em pontos críticos. Vamos usar a definição: f é contínua em a se limxto af(x) existe e é igual a f(a).]
Passo 2
Identificamos os pontos que podem dar problema: zeros do denominador em x^2-1=0, ou seja x=pm1. Além disso, x=1 já tem valor especial definido. Logo precisamos checar continuidade em todos os xneq pm1, em x=1 e em x=-1.
Passo 3
Para xneq1 (e diferente de -1 para evitar divisão por zero) podemos simplificar:
x^2-xx^2-1 =x(x-1)(x-1)(x+1) =xx+1,
Assim em todo ponto aneq pm1 temos f(x)=x/(x+1), que é uma função racional contínua nesses pontos.
Passo 4
Concluímos que para qualquer aneq -1,1 vale
limxto af(x) =aa+1 =f(a),
logo f é contínua em todo anotin-1,1.
Passo 5
Em x=1 o limite da parte racional é
limxto1xx+1 =11+1 =tfrac12,
mas f(1)=1. Como tfrac12neq1, a continuidade em x=1 falha (é uma descontinuidade removível, pois o limite existe mas não coincide com f(1)).
Passo 6
Em x=-1 o denominador da parte racional zera, então
limxto -1^-xx+1=+infty, limxto -1^+xx+1=-infty,
os limites não existem (nem são finitos), logo é descontinuidade essencial em x=-1.
Resposta
A função é contínua para todo xneq -1,1 e tem descontinuidades em x=-1 (essencial) e em x=1 (removível).