Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
Informações relevantes que temos:
- A equação é de primeira ordem e está na forma
. - A função
dada pelo enunciado é . - A função
dada pelo enunciado é . - Há uma condição inicial
. - O domínio indicado é
(isso permite simplificar para quando necessário).
Passo 2
Vamos aprender o método do fator integrante de forma didática. Considere uma equação linear de primeira ordem na forma
A ideia é multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo vire a derivada de
. Queremos
Usando a regra do produto,
. Para que isso seja igual a
precisamos de
Essa é uma equação separável para
. Resolvendo-a:
Escolhendo a constante
(qualquer constante multiplicativa se incorpora depois), obtemos a fórmula prática do fator integrante:
Depois multiplicamos a equação original por
, obtemos
, integramos ambos os lados e isolamos
. É isso que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Identificamos
. Calculamos o fator integrante:
Como
,
. Portanto
Usamos a propriedade
(válida para
), logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Simplificando os termos:
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Verifique:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
mais uma constante de integração
. Logo
Passo 6
Isolamos
:
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Como
, segue que
.
Passo 7
Com
obtemos a solução final (no domínio
):
Vamos fazer uma checagem rápida substituindo na equação original: calcule
. Usando a regra do produto,
Então
que é exatamente o lado direito original. A solução satisfaz a equação e a condição inicial.