Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
\frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=\frac{\cos x}{x^{2}}, y(\pi)=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=\frac{\cos x}{x^{2}},\qquad y(\pi)=0,\qquad x>0.
Informações relevantes que temos:
  • A equação é de primeira ordem e está na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  • A função P(x) dada pelo enunciado é P(x)=\dfrac{2}{x}.
  • A função Q(x) dada pelo enunciado é Q(x)=\dfrac{\cos x}{x^{2}}.
  • Há uma condição inicial y(\pi)=0.
  • O domínio indicado é x>0 (isso permite simplificar \ln|x| para \ln x quando necessário).

Passo 2

Vamos aprender o método do fator integrante de forma didática. Considere uma equação linear de primeira ordem na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) (o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. Queremos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Usando a regra do produto, \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\dfrac{dy}{dx}+\mu' y. Para que isso seja igual a \mu\dfrac{dy}{dx}+\mu P y precisamos de
\mu'(x)=\mu(x)P(x).
Essa é uma equação separável para \mu. Resolvendo-a:
\frac{\mu'}{\mu}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + C.
Escolhendo a constante C=0 (qualquer constante multiplicativa se incorpora depois), obtemos a fórmula prática do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Depois multiplicamos a equação original por \mu(x), obtemos \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q, integramos ambos os lados e isolamos y. É isso que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Identificamos P(x)=\dfrac{2}{x}. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{x}\,dx\Big).
Como x>0, \int \dfrac{2}{x}\,dx=2\ln x. Portanto
\mu(x)=\exp(2\ln x).
Usamos a propriedade \exp(a\ln b)=b^{a} (válida para b>0), logo
\mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso obtemos
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y = x^{2}\cdot\frac{\cos x}{x^{2}}.
Simplificando os termos:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y=\cos x.
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto x^{2}y. Verifique:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=\cos x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)\,dx = \int \cos x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{2}y. A integral do lado direito é \sin x mais uma constante de integração C. Logo
x^{2}y=\sin x + C.

Passo 6

Isolamos y:
y=\frac{\sin x + C}{x^{2}}.
Agora usamos a condição inicial y(\pi)=0. Substituindo x=\pi:
0 = y(\pi)=\frac{\sin\pi + C}{\pi^{2}}.
Como \sin\pi=0, segue que C=0.

Passo 7

Com C=0 obtemos a solução final (no domínio x>0):
y=\frac{\sin x}{x^{2}}.
Vamos fazer uma checagem rápida substituindo na equação original: calcule y'=\dfrac{d}{dx}\big(\sin x\cdot x^{-2}\big). Usando a regra do produto,
y'=\frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{2\sin x}{x^{3}}.
Então
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y = \left(\frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{2\sin x}{x^{3}}\right) + \frac{2}{x}\cdot\frac{\sin x}{x^{2}} = \frac{\cos x}{x^{2}},
que é exatamente o lado direito original. A solução satisfaz a equação e a condição inicial.

Resposta

\displaystyle y=\frac{\sin x}{x^{2}}

Exercícios relacionados