Independência linear II. (b) Sejam
e
três vetores linearmente independentes (isto é, não-coplanares e portanto no espaço
), mostre então que um vetor qualquer
possui uma expansão única,
, com respeito a
e
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos três vetores
em
que são linearmente independentes (ou seja, não estão todos no mesmo plano). A gente quer mostrar que qualquer outro vetor
em
pode ser escrito de um jeito só como
e que esses
são únicos.
Conteúdo: teoria de base, dimensão, independência linear, existência e unicidade de coeficientes.
Conteúdo: teoria de base, dimensão, independência linear, existência e unicidade de coeficientes.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é independência linear: os vetores
são independentes se a única solução da combinação
for
.
Agora, num espaço de dimensão 3 (ou seja,
), qualquer conjunto de 3 vetores independentes já “enche” todo o espaço. Isso é um resultado padrão: “no
, qualquer família de
vetores independentes forma uma base”. Uma base, por definição, é um conjunto que gera (ou “abona”) todo o espaço e é independente.
Então, por esse fato,
gera
: dado qualquer
, existem escalares
tais que
Isso estabelece a existência da expansão.
Passo 3
Agora, a gente precisa ver que essa escrita é única. Suponha o contrário: imagine que
com
. Subtraindo as duas expressões, dá
Mas como
são independentes, a única solução é
Logo,
para
. Isso prova a unicidade dos coeficientes.
Resposta
Qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como
onde os escalares
existem (pois
gera
) e são únicos (pela independência linear).