Independência linear II. (b) Sejam A1, A2 e A3 três vetores linearmente independentes (isto é, não-coplanares e portanto no espaço d=3 ), mostre então que um vetor qualquer B possui uma expansão única, B=a1 A1+a2 A2+a3 A3, com respeito a A1, A2 e A3.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos três vetores B = a1,A1 + a2,A2 + a3,A3, em que são linearmente independentes (ou seja, não estão todos no mesmo plano). A gente quer mostrar que qualquer outro vetor em pode ser escrito de um jeito só como
e que esses são únicos.
Conteúdo: teoria de base, dimensão, independência linear, existência e unicidade de coeficientes.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é independência linear: os vetores c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0 são independentes se a única solução da combinação
B = a1,A1 + a2,A2 + a3,A3
for .
Agora, num espaço de dimensão 3 (ou seja, ), qualquer conjunto de 3 vetores independentes já “enche” todo o espaço. Isso é um resultado padrão: “no , qualquer família de vetores independentes forma uma base”. Uma base, por definição, é um conjunto que gera (ou “abona”) todo o espaço e é independente.
Então, por esse fato, gera : dado qualquer , existem escalares tais que
Isso estabelece a existência da expansão.

Passo 3

Agora, a gente precisa ver que essa escrita é única. Suponha o contrário: imagine que
B = a1,A1 + a2,A2 + a3,A3 e B = b1,A1 + b2,A2 + b3,A3,
com 0 = (a1 - b1),A1 + (a2 - b2),A2 + (a3 - b3),A3 . Subtraindo as duas expressões, dá
a1 - b1 = 0, a2 - b2 = 0, a3 - b3 = 0
Mas como são independentes, a única solução é
Logo, para . Isso prova a unicidade dos coeficientes.

Resposta

Qualquer vetor boxedB = a1,A1 + a2,A2 + a3,A3, pode ser escrito de forma única como
onde os escalares existem (pois gera ) e são únicos (pela independência linear).

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