Seja \mathcal{C}([a, b]) o conjunto das funções contínuas f:[a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
a) Prove que a função \langle\cdot, \cdot\rangle definida por
\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t
define um produto interno em \mathcal{C}([a, b]), quaisquer que sejam f, g \in \mathcal{C}([a, b]).
b) Prove, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
\left|\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t\right| \leq\left(\int_{a}^{b}(f(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{b}(g(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}
c) Calcule o ângulo formado entre as funções f(t)=1 e g(t)=t, com relação ao produto interno dado no item a), assumindo que no intervalo de integração se tenha a=0 e b=1.
Passo 1
O enunciado define em \mathcal{C}([a,b]) a aplicação
e pede em (a) que provemos que isto é um produto interno, em (b) que derivemos a desigualdade de Cauchy–Schwarz e em (c) que calculemos o ângulo entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1].
(a) Verificadas positividade, simetria e linearidade, logo é produto interno.
(b) A desigualdade segue de Cauchy–Schwarz: \bigl|\int_{a}^{b}f g\bigr|\le\bigl(\int_{a}^{b}f^{2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int_{a}^{b}g^{2}\bigr)^{1/2}.
(c) \theta=\tfrac{\pi}{6}.