Seja \mathcal{C}([a, b]) o conjunto das funções contínuas f:[a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
a) Prove que a função \langle\cdot, \cdot\rangle definida por
\langle f(t), g(t)\rangle=\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t
define um produto interno em \mathcal{C}([a, b]), quaisquer que sejam f, g \in \mathcal{C}([a, b]).
b) Prove, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
\left|\int_{a}^{b} f(t) g(t) d t\right| \leq\left(\int_{a}^{b}(f(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{b}(g(t))^{2} d t\right)^{\frac{1}{2}}
c) Calcule o ângulo formado entre as funções f(t)=1 e g(t)=t, com relação ao produto interno dado no item a), assumindo que no intervalo de integração se tenha a=0 e b=1.

Passo 1

O enunciado define em \mathcal{C}([a,b]) a aplicação
\langle f,g\rangle \;=\;\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt
e pede em (a) que provemos que isto é um produto interno, em (b) que derivemos a desigualdade de Cauchy–Schwarz e em (c) que calculemos o ângulo entre f(t)=1 e g(t)=t em [0,1].

Passo 2

Mostramos a positividade e definitude:
\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \bigl(f(t)\bigr)^{2}\,dt \;\ge0
porque \bigl(f(t)\bigr)^{2}\ge0 para todo t. Se \langle f,f\rangle=0, então \bigl(f(t)\bigr)^{2}=0 quase em todo t, logo f(t)\equiv0.

Passo 3

Verificamos simetria e linearidade na primeira variável:
  1. Simetria:
\langle f,g\rangle =\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt =\int_{a}^{b}g(t)\,f(t)\,dt =\langle g,f\rangle.
  1. Linearidade: para quaisquer f_{1},f_{2},g e \lambda\in\mathbb{R},
\langle f_{1}+f_{2},g\rangle =\int_{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t))\,g(t)\,dt =\langle f_{1},g\rangle+\langle f_{2},g\rangle,
\langle \lambda f,g\rangle =\int_{a}^{b}\lambda\,f(t)\,g(t)\,dt =\lambda\,\langle f,g\rangle.

Passo 4

Das propriedades de positividade, simetria e linearidade segue que \langle\cdot,\cdot\rangle é produto interno em \mathcal{C}([a,b]).

Passo 5

Em todo espaço com produto interno define-se a norma \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle} e vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\bigl|\langle f,g\rangle\bigr|\le\|f\|\,\|g\|.
Substituindo \langle f,g\rangle e as normas, obtemos
\Bigl|\int_{a}^{b}f(t)\,g(t)\,dt\Bigr| \le\Bigl(\int_{a}^{b}(f(t))^{2}dt\Bigr)^{\tfrac12} \Bigl(\int_{a}^{b}(g(t))^{2}dt\Bigr)^{\tfrac12}.

Passo 6

Para f(t)=1 e g(t)=t em [0,1]:
\langle f,g\rangle =\int_{0}^{1}1\cdot t\,dt=\tfrac12, \quad \|f\|^{2}=\int_{0}^{1}1^{2}dt=1, \quad \|g\|^{2}=\int_{0}^{1}t^{2}dt=\tfrac13.
Logo
\cos\theta =\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\|g\|} =\frac{\tfrac12}{1\cdot\frac1{\sqrt3}} =\frac{\sqrt3}{2},
daí \theta=\operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.

Resposta

(a) Verificadas positividade, simetria e linearidade, logo é produto interno.
(b) A desigualdade segue de Cauchy–Schwarz: \bigl|\int_{a}^{b}f g\bigr|\le\bigl(\int_{a}^{b}f^{2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int_{a}^{b}g^{2}\bigr)^{1/2}.
(c) \theta=\tfrac{\pi}{6}.

Exercícios relacionados