(2 pontos) Considere a base
de
, onde
e
. Aplicando o processo de Gram-Schmidt, obtenha:
(a) uma base ortogonal
;
(a) uma base ortogonal
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base
, onde
de modo a obter uma base ortogonal
. Vamos usar produto interno usual em
e subtrair projeções sucessivas.
Passo 2
Definimos
Para obter
, subtraímos de
sua projeção em
. Calculamos
e .
Logo
e
Logo
Passo 3
Subtraindo esta projeção de
, obtemos
Para simplificar, podemos multiplicar por
sem perder ortogonalidade e usar
Passo 4
Para
, subtraímos de
as projeções em
e em
. Primeiro
Depois
Então
Multiplicando por
para simplificar,
Resposta
Uma base ortogonal obtida é