(2 pontos) Considere a base \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, onde v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(1,0,1) e v_{3}=(0,0,1). Aplicando o processo de Gram-Schmidt, obtenha:
(a) uma base ortogonal \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base \{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3}, onde
v_{1}=(1,1,1),\quad v_{2}=(1,0,1),\quad v_{3}=(0,0,1),
de modo a obter uma base ortogonal \{w_{1},w_{2},w_{3}\}. Vamos usar produto interno usual em \mathbb{R}^{3} e subtrair projeções sucessivas.

Passo 2

Definimos
w_{1}=v_{1}=(1,1,1).
Para obter w_{2}, subtraímos de v_{2} sua projeção em w_{1}. Calculamos \langle v_{2},w_{1}\rangle=1\cdot1+0\cdot1+1\cdot1=2
e \langle w_{1},w_{1}\rangle=1+1+1=3.
Logo
\mathrm{proj}_{w_{1}}(v_{2}) =\frac{\langle v_{2},w_{1}\rangle}{\langle w_{1},w_{1}\rangle}\,w_{1} =\frac{2}{3}(1,1,1)=(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}).

Passo 3

Subtraindo esta projeção de v_{2}, obtemos
w_{2} =v_{2}-\mathrm{proj}_{w_{1}}(v_{2}) =(1,0,1)-(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}) =(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}).
Para simplificar, podemos multiplicar por 3 sem perder ortogonalidade e usar
w_{2}=(1,-2,1).

Passo 4

Para w_{3}, subtraímos de v_{3} as projeções em w_{1} e em w_{2}. Primeiro
\mathrm{proj}_{w_{1}}(v_{3}) =\frac{\langle v_{3},w_{1}\rangle}{\langle w_{1},w_{1}\rangle}\,w_{1} =\frac{1}{3}(1,1,1)=(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}).
Depois
\langle v_{3},w_{2}\rangle =0\cdot1+0\cdot(-2)+1\cdot1=1, \quad \langle w_{2},w_{2}\rangle =1+4+1=6,
\mathrm{proj}_{w_{2}}(v_{3}) =\frac{1}{6}(1,-2,1)=(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}).
Então
w_{3} =v_{3} -\mathrm{proj}_{w_{1}}(v_{3}) -\mathrm{proj}_{w_{2}}(v_{3}) =(0,0,1)-(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3})-(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}) =(-\tfrac12,0,\tfrac12).
Multiplicando por 2 para simplificar,
w_{3}=(-1,0,1).

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
w_{1}=(1,1,1),\quad w_{2}=(1,-2,1),\quad w_{3}=(-1,0,1).

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