Use as relações
e
div(F times G)=lang<=G, rot Frang<=-lang<=F, rot Grang<= rot(rot F)=grad(div F)-nabla^2 F
para mostrar que:
se F e G são campos conservativos, então F times G é incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo divergência e produto vetorial de campos. O enunciado pede para mostrar que, se os campos vetoriais F e G são conservativos, então o campo F times G é incompressível. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas fornecidas sobre divergência de produto vetorial e o rotacional de um rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Isso implica que o rotacional (ou “rot”) desse campo é zero. Ou seja, se F é conservativo, então rot F = 0, e o mesmo vale para G: rot G = 0.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a primeira relação que foi dada:
div(F times G) = lang<= G, rot F rang<= - lang<= F, rot G rang<=
Aqui, div representa a divergência e o símbolo lang<= cdot , cdot rang<= denota o produto escalar entre dois vetores.

Passo 4

Como já sabemos que F e G são conservativos, temos que rot F = 0 e rot G = 0. Vamos substituir esses valores na equação:
div(F times G) = lang<= G, 0 rang<= - lang<= F, 0 rang<=

Passo 5

O produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo 0 é zero. Portanto:
lang<= G, 0 rang<= = 0 e lang<= F, 0 rang<= = 0
Substituindo esses valores na equação, temos:
div(F times G) = 0 - 0 = 0

Resposta

Assim, mostramos que div(F times G) = 0, ou seja, o campo F times G é incompressível.

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