Use as relações
e
para mostrar que:
se
e
são campos conservativos, então
é incompressível.
e
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo divergência e produto vetorial de campos. O enunciado pede para mostrar que, se os campos vetoriais
e
são conservativos, então o campo
é incompressível. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas fornecidas sobre divergência de produto vetorial e o rotacional de um rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Isso implica que o rotacional (ou “rot”) desse campo é zero. Ou seja, se
é conservativo, então
, e o mesmo vale para
:
.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a primeira relação que foi dada:
Aqui,
representa a divergência e o símbolo
denota o produto escalar entre dois vetores.
Passo 4
Como já sabemos que
e
são conservativos, temos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
O produto escalar de qualquer vetor com o vetor nulo
é zero. Portanto:
Substituindo esses valores na equação, temos:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, o campo
é incompressível.