Indique a afirmação falsa.
(b) Seja f:[a, b] R contínua e não negativa. Então
(integrala^b f(x) cos (x) d x)^2+(integrala^b f(x) sen(x) d x)^2 <=(integrala^b f(x) d x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma afirmação sobre integrais e me pediu para identificar se ela é falsa. O enunciado é o seguinte:
Seja (integrala^b f(x) cos (x) , dx)^2 + (integrala^b f(x) sin(x) , dx)^2 <= (integrala^b f(x) , dx)^2 contínua e não negativa. Então,
Vamos analisar essa afirmação usando conceitos de cálculo integral e desigualdades matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela relaciona três integrais:
E diz que a soma dos quadrados das duas primeiras integrais é menor ou igual ao quadrado da terceira integral.

Passo 3

Para analisar se isso é verdade ou não, vamos lembrar da desigualdade de Cauchy-Schwarz para integrais, que afirma que:
(integrala^b f(x) g(x) , dx)^2 <= (integrala^b f(x)^2 , dx) (integrala^b g(x)^2 , dx)
Aplicando isso às integrais (integrala^b f(x) cos(x) , dx)^2 + (integrala^b f(x) sin(x) , dx)^2 <= (integrala^b f(x)^2 , dx) (integrala^b (cos^2(x) + sin^2(x)) , dx) e (integrala^b f(x) cos(x) , dx)^2 + (integrala^b f(x) sin(x) , dx)^2 <= (integrala^b f(x)^2 , dx) (b - a) , temos:
Como , a expressão se simplifica para:

Passo 4

Agora, comparando com a afirmação original:
(integral f cos x , dx)^2 + (integral f sin x , dx)^2 <= (integral f , dx)^2
Podemos ver que o lado direito da desigualdade que obtivemos via Cauchy-Schwarz é , enquanto a afirmação original usa . Essas duas expressões não são iguais e, na verdade, não podemos garantir que uma é sempre menor ou igual à outra.

Passo 5

Para confirmar que a afirmação não é verdadeira em geral, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que 1^2 + 1^2 = 2 <= (pi2)^2 approx 2.47 no intervalo .
Calculando as integrais:
Agora, substituindo na desigualdade dada:
Neste caso, a desigualdade é verdadeira. Mas se considerarmos uma função diferente, por exemplo, no mesmo intervalo, os cálculos podem mostrar que a desigualdade não se mantém. Isso indica que a afirmação não é válida para todas as funções contínuas e não negativas.

Resposta

A afirmação (b) é falsa.

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