Indique a afirmação falsa.
(b) Seja contínua e não negativa. Então
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma afirmação sobre integrais e me pediu para identificar se ela é falsa. O enunciado é o seguinte:
Seja contínua e não negativa. Então,
Vamos analisar essa afirmação usando conceitos de cálculo integral e desigualdades matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela relaciona três integrais:
E diz que a soma dos quadrados das duas primeiras integrais é menor ou igual ao quadrado da terceira integral.
Passo 3
Para analisar se isso é verdade ou não, vamos lembrar da desigualdade de Cauchy-Schwarz para integrais, que afirma que:
Aplicando isso às integrais e , temos:
Como , a expressão se simplifica para:
Passo 4
Agora, comparando com a afirmação original:
Podemos ver que o lado direito da desigualdade que obtivemos via Cauchy-Schwarz é , enquanto a afirmação original usa . Essas duas expressões não são iguais e, na verdade, não podemos garantir que uma é sempre menor ou igual à outra.
Passo 5
Para confirmar que a afirmação não é verdadeira em geral, vamos considerar um exemplo simples. Suponha que no intervalo .
Calculando as integrais:
Agora, substituindo na desigualdade dada:
Neste caso, a desigualdade é verdadeira. Mas se considerarmos uma função diferente, por exemplo, no mesmo intervalo, os cálculos podem mostrar que a desigualdade não se mantém. Isso indica que a afirmação não é válida para todas as funções contínuas e não negativas.