Indique a integral que calcula o volume do sólido, respectivamente, obtido pela rotação da região limitada pelas curvas:
a) x^2-y^2=1 e x=3 ao redor da reta x=-2;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=-2 a região limitada pela hipérbole
x^2-y^2=1
e pela reta vertical x=3.
O conteúdo é “cálculo de volume por método dos cascos cilíndricos” (shells).

Passo 2

Primeiro, descriminamos a região no plano xy: para cada x entre a menor abscissa da hipérbole e 3, o y varia de
y=-raizx^2-1 até y=+raizx^2-1 é
A hipérbole cruza o eixo x em x=1, logo xin[1,3].

Passo 3

Pelo método dos cascos cilíndricos, um elemento de volume a partir de uma tira vertical em x tem:
– raio R(x) = distância de x até o eixo x=-2, ou seja
R(x)=x-(-2)=x+2,
– altura H(x) = extensão em y, ou seja
H(x)=l(raizx^2-1r)-l(-raizx^2-1r) =2,raizx^2-1
Assim o volume é dado por
V =integralx=1^32pi,R(x),H(x),dx =2piintegral1^3(x+2),2raizx^2-1;dx =4piintegral1^3(x+2)raizx^2-1;dx

Resposta

V =4piintegral1^3(x+2),raizx^2-1;dx

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