Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Integral na série
sumn=1^infty n e^-n^2
O conteúdo aqui é o Teste da Integral, que exige associar à sequência an = n e^-n^2 uma função contínua f(x) tal que f(n)=an para x>=1, e verificar se
integral1^infty f(x),dx
converge ou diverge.

Passo 2

Definimos
f(x) = x e^-x^2, x>=1
Precisamos checar três hipóteses do Teste da Integral:
  1. f(x)>0 para x>=1 — claro, pois x>0 e e^-x^2>0.
  2. f é contínua em [1,infty) — é produto de funções contínuas.
  3. f é decrescente em [1,infty).
    Calculamos a derivada f'(x) = e^-x^2 + xl(-2x e^-x^2r) = e^-x^2(1 - 2x^2) Para x>=1 temos 1-2x^2<=1-2<0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente.

Passo 3

Agora avaliamos o integral impróprio
I = integral1^infty x e^-x^2,dx
Usamos a substituição
u = x^2, du = 2x,dxLongrightarrow x,dx = du2
Os limites em u vão de 1^2=1 até infty^2=infty. Então
I = integral1^infty x e^-x^2,dx = integralu=1^infty e^-u,du2 = 12integral1^infty e^-u,du
Esse último integral é uma exponencial decrescente. Calculando,
integral1^infty e^-u,du = l[-e^-ur]1^infty = 0 - l(-e^-1r) = e^-1
Portanto
I = 12e^-1,
que é finito.

Passo 4

Como integral1^inftyf(x),dx converge (é igual a tfrac12e^-1), o Teste da Integral garante que
sumn=1^infty n e^-n^2
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n e^-n^2 é convergente.

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