Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Teste da Integral na série
O conteúdo aqui é o Teste da Integral, que exige associar à sequência
uma função contínua
tal que
para
, e verificar se
converge ou diverge.
Passo 2
Definimos
Precisamos checar três hipóteses do Teste da Integral:
-
para — claro, pois e . -
é contínua em — é produto de funções contínuas. -
é decrescente em .
Calculamos a derivadaPara temos , logo . Portanto é decrescente.
Passo 3
Agora avaliamos o integral impróprio
Usamos a substituição
Os limites em
vão de
até
. Então
Esse último integral é uma exponencial decrescente. Calculando,
Portanto
que é finito.
Passo 4
Como
converge (é igual a
), o Teste da Integral garante que
converge.
Resposta
A série
é convergente.