Seja a fronteira orientada positivamente do quadrado cujos lados estão nas retas e e seja o círculo orientado positivamente (Figura 65). Usando o corolário da Seção 53 , mostre por que
se ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar as integrais de uma função sobre duas curvas: , que é a fronteira de um quadrado com lados em e , e , que é o círculo de raio 4 centrado na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Cauchy e seus corolários, que nos ajudam a comparar integrais de funções analíticas em regiões simplesmente conexas. Precisamos verificar se é analítica dentro e no caminho das curvas e .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde a função pode ter singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Então, resolvemos :
Esses são os pontos onde não é analítica, chamados de polos.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses polos estão dentro das curvas e .
Para , que é o quadrado com lados em e , a magnitude máxima de está em . Já para , que é o círculo de raio 4, qualquer ponto com está dentro.
Os polos têm magnitude , que está claramente dentro de ambas as curvas C1 e C2 .
Passo 4
Segundo o corolário do Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região simplesmente conexa que contém as curvas C1 e C2 , então as integrais dessas curvas sobre a função são iguais, desde que as curvas sejam homotópicas dentro dessa região.
Como C1 e C2 são ambas curvas que cercam os mesmos polos e a função f(z) é analítica em toda a região entre elas (não há outros polos ou singularidades), podemos aplicar o corolário para afirmar que: