Seja C1 a fronteira orientada positivamente do quadrado cujos lados estão nas retas x= pm 1 e y= pm 1 e seja C2 o círculo |z|=4 orientado positivamente (Figura 65). Usando o corolário da Seção 53 , mostre por que
integralC1 f(z) d z=integralC2 f(z) d z
se
f(z)=13 z^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar as integrais de uma função f(z) = 13z^2 + 1 sobre duas curvas: C1 , que é a fronteira de um quadrado com lados em x = pm1 e y = pm1 , e C2 , que é o círculo de raio 4 centrado na origem. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Cauchy e seus corolários, que nos ajudam a comparar integrais de funções analíticas em regiões simplesmente conexas. Precisamos verificar se f(z) é analítica dentro e no caminho das curvas C1 e C2 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função f(z) = 13z^2 + 1 pode ter singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Então, resolvemos 3z^2 + 1 = 0 :
3z^2 + 1 = 0 implies z^2 = -13 implies z = pm iraiz3
Esses são os pontos onde f(z) não é analítica, chamados de polos.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses polos estão dentro das curvas C1 e C2 .
Para C1 , que é o quadrado com lados em x = pm1 e y = pm1 , a magnitude máxima de z está em raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414 . Já para C2 , que é o círculo de raio 4, qualquer ponto com |z| < 4 está dentro.
Os polos z = pm iraiz3 têm magnitude | 1raiz3 | approx 0,577 , que está claramente dentro de ambas as curvas C1 e C2 .

Passo 4

Segundo o corolário do Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região simplesmente conexa que contém as curvas C1 e C2 , então as integrais dessas curvas sobre a função são iguais, desde que as curvas sejam homotópicas dentro dessa região.
Como C1 e C2 são ambas curvas que cercam os mesmos polos e a função f(z) é analítica em toda a região entre elas (não há outros polos ou singularidades), podemos aplicar o corolário para afirmar que:
integralC1 f(z) , dz = integralC2 f(z) , dz

Resposta

integralC1 f(z) , dz = integralC2 f(z) , dz

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