Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
usando o Teste da Integral. Para isso, vamos associá-la à função
e estudar a integral imprópria
.
usando o Teste da Integral. Para isso, vamos associá-la à função
Passo 2
Precisamos checar que, para
, a função
é positiva, contínua e decrescente. É claro que
e
é contínua em
. Vamos mostrar que
:
Como para
temos
, segue
. Logo
é decrescente em
.
Passo 3
Agora calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
(portanto
), os limites viram
e
. Assim
Como esse valor é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
é contínua, positiva e decrescente em
e
converge, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.