Use o Teste de Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty nn^4+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftynn^4+1
usando o Teste da Integral. Para isso, vamos associá-la à função
f(x)=xx^4+1 e estudar a integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Precisamos checar que, para x>=1, a função f é positiva, contínua e decrescente. É claro que f(x)>0 e f é contínua em [1,infty). Vamos mostrar que f'(x)<0:
f'(x) =(x^4+1)cdot1 - xcdot4x^3(x^4+1)^2 =1-3x^4(x^4+1)^2
Como para x>=1 temos 1-3x^4<=1-3<0, segue f'(x)<0. Logo f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Agora calculamos a integral imprópria
integral1^inftyxx^4+1,dx
Fazendo a substituição u=x^2, du=2x,dx (portanto x,dx=tfracdu2), os limites viram u(1)=1 e u(infty)=infty. Assim
integral1^inftyxx^4+1,dx =12integral1^inftyduu^2+1 =12l[arctan(u)r]1^infty =12l(pi2-pi4r) =pi8
Como esse valor é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se f é contínua, positiva e decrescente em [1,infty) e
integral1^inftyf(x),dx converge, então a série
sumn=1^inftyf(n) também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftynn^4+1 converge pelo Teste da Integral.

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