Indique se as matrizes abaixo estão na sua forma escalonada reduzida ou não.
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a matriz
A = \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & -1 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right]
está em forma escalonada reduzida. O conteúdo é o conceito de forma escalonada reduzida (RREF – Reduced Row Echelon Form) de matrizes aumentadas.]

Passo 2

Recordando a definição, uma matriz está em forma escalonada reduzida se satisfaz simultaneamente:
  1. Cada linha não nula tem como primeiro elemento não nulo (pivô) o valor 1.
  2. Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras posições dessa coluna.
  3. As linhas de zeros (se houver) ficam abaixo das linhas não nulas, e cada pivô de uma linha está estritamente à direita do pivô da linha acima.

Passo 3

Vamos verificar os itens em A:
  • As três linhas não nulas têm pivôs iguais a 1, respetivamente nas colunas 1, 2 e 3.
  • As linhas de zeros aparecem abaixo de nenhuma linha não nula (não há linhas de zeros), então essa condição está ok.
  • Os pivôs estão progressivamente deslocados para a direita (coluna 1, depois 2, depois 3), cumprindo a condição de escalonamento.
  • Porém, na coluna do terceiro pivô (coluna 3), além do 1 em A_{3,3}, existe um 1 em A_{1,3}. Para estar em forma reduzida, essa coluna deveria ter zeros em todas as outras linhas, mas A_{1,3}=1\neq0.

Passo 4

Portanto, embora A esteja em forma escalonada (REF), ela não está em forma escalonada reduzida (RREF) por não zerar completamente a coluna do terceiro pivô acima dele.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada reduzida.

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