Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução.
\left\{\begin{aligned} 2 x+4 y+6 z & =22 \\\\ 3 x+8 y+5 z & =27 \\\\ -x+y+2 z & =2\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x + 4y + 6z = 22,\\\\ 3x + 8y + 5z = 27,\\\\ -\,x + y + 2z = 2, \end{cases}
e pede para decidirmos se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma. Vamos usar o método da substituição para resolver e, a partir disso, classificar o sistema pelo posto das equações.

Passo 2

Da terceira equação
-\,x + y + 2z = 2
isolamos x. Temos
x = y + 2z - 2.

Passo 3

Substituímos x = y + 2z - 2 nas duas primeiras equações.
Na primeira:
2\bigl(y+2z-2\bigr)+4y+6z = 22 \;\Longrightarrow\; 2y + 4z -4 +4y +6z =22 \;\Longrightarrow\; 6y +10z =26 \;\Longrightarrow\; 3y +5z =13.
Na segunda:
3\bigl(y+2z-2\bigr)+8y+5z =27 \;\Longrightarrow\; 3y +6z -6 +8y +5z =27 \;\Longrightarrow\; 11y +11z =33 \;\Longrightarrow\; y + z =3.

Passo 4

O sistema reduzido em (y,z)\) é \[\begin{cases} 3y + 5z = 13,\\\ y + z = 3. \end{cases}
Da segunda equação vem y = 3 - z\]. Substituindo em \(3y+5z=13:
3(3 - z) +5z =13 \;\Longrightarrow\; 9 -3z +5z =13 \;\Longrightarrow\; 2z =4 \;\Longrightarrow\; z =2.
Logo y = 3 - 2 = 1.

Passo 5

Retornando em x = y + 2z - 2:
x = 1 + 2\cdot 2 -2 = 1 +4 -2 = 3.
Obtemos a única tripla (x,y,z) = (3,1,2).

Resposta

O sistema tem solução única, dado por
\{(x,y,z)\} = \{(3,1,2)\}.

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