Verifique se a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(x, y)=(x-y, x+y)
é linear. Em seguida encontre T((10,7)) e T((5,5).

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y)=(x-y,\;x+y)
é linear e, em seguida, calcular T((10,7)) e T((5,5)). O conteúdo envolve a definição de transformação linear: preservação de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}. Então
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =(x_1+x_2-(y_1+y_2),\;x_1+x_2+y_1+y_2) =(x_1-y_1,\;x_1+y_1)+(x_2-y_2,\;x_2+y_2) =T(u)+T(v).
Além disso,
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\;\alpha y_1) =(\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha x_1+\alpha y_1) =\alpha(x_1-y_1,\;x_1+y_1) =\alpha\,T(u).
Logo, T preserva soma e escalar, isto é, é linear.

Passo 3

Calcular T((10,7)):
T((10,7))=(10-7,\;10+7)=(3,\;17).

Passo 4

Calcular T((5,5)):
T((5,5))=(5-5,\;5+5)=(0,\;10).

Resposta

Sim, T é linear.
T((10,7))=(3,17).
T((5,5))=(0,10).

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