Indique as matrizes que estão na forma escalonada e destas determine os pivôs e o posto.
Passo 1
O enunciado dá sete matrizes A,B,C,D,E,F,G e pede (i) indicar quais estão em forma escalonada por linhas (row--echelon form) e (ii) para essas matrizes escalonadas determinar os pivôs e o posto.
Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz: 1. Todas as linhas nulas estão abaixo das não nulas. 2. O primeiro elemento não nulo de cada linha (pivô) fica à direita do pivô da linha acima. 3. Abaixo de cada pivô todos os elementos são zero.
Passo 2
Analisando A e C:
Matriz A:
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
– está em forma escalonada (é a identidade).
– Pivôs em ,(1,1),(2,2),(3,3) com valores ,1,1,1.
– Como há três pivôs, rank(A)=3.
Matriz C:
C= 2 & 1 0 & 3
– é triangular superior, logo está em forma escalonada.
– Pivôs em ,(1,1) com valor 2 e ,(2,2) com valor 3.
– Dois pivôs, portanto rank(C)=2.
Passo 3
Analisando B,D,F, mostramos que não estão em forma escalonada:
Matriz B:
B= 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
– primeiro pivô estaria em coluna 3 na linha 1, mas o pivô da linha 2 estaria em coluna 2 (à esquerda), violando a regra de deslocamento à direita.
Matriz D:
D= 0 & 2 & 1 & 4 0 & 0 & 2 & 4 0 & 0 & 1 & 0
– pivô da linha 2 em coluna 3 e na linha 3 também em coluna 3, não há avanço estrito da coluna do pivô.
– linhas nulas abaixo das não nulas, pivôs em colunas crescentes (1 e depois 3).
– Pivôs: E1,1=1 e E2,3=5.
– Dois pivôs, rank(E)=2.
Matriz G:
G= -3 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0
– pivô na linha 1 coluna 1 e depois na linha 2 coluna 4, linhas nulas abaixo.
– Pivôs: G1,1=-3 e G2,4=1.
– Dois pivôs, rank(G)=2.
Resposta
As matrizes em forma escalonada são A,C,E,G.
A: pivôs 1,1,1 nas posições (1,1),(2,2),(3,3), posto 3.
C: pivôs 2 em (1,1) e 3 em (2,2), posto 2.
E: pivôs 1 em (1,1) e 5 em (2,3), posto 2.
G: pivôs -3 em (1,1) e 1 em (2,4), posto 2.