Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
Passo 1
O enunciado pede: indicar quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita. O número dado é
.
Informações relevantes fornecidas:
- O único número a analisar é
.
Passo 2
Ideia-chave (regra que vamos usar) — quando um número racional tem representação decimal finita.
- Um número racional
(com e inteiros e ) tem representação decimal finita se, quando a fração está na forma irredutível (ou seja, em menor termos), o denominador tem apenas os fatores primos e/ou . - Explicação curta do porquê: ter representação decimal finita significa que existe um inteiro
tal que
para algum inteiro
. Isso equivale a dizer que
divide
. Como
, isso só é possível se os fatores primos de
forem apenas
e/ou
. Inversamente, se
só tem fatores
e
, escolhe-se
suficientemente grande para que
e então a representação decimal será finita.
Passo 3
Começar simplificando a fração dada (colocá-la em menor termos).
Calcular o máximo divisor comum:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Analisar o denominador da fração irredutível.
A fração irredutível é
. O denominador é
e sua fatoração prima é
Como os únicos fatores primos de
são
e
, isso satisfaz exatamente a condição da regra do Passo 2: o denominador (em menor termos) tem apenas fatores
e
.
Passo 5
Concluir que a representação decimal é finita e obter explicitamente essa decimal.
Sabendo que
tem denominador
, já se vê que a representação decimal com
é finita: