Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
-\frac{6}{60}

Passo 1

O enunciado pede: indicar quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita. O número dado é \displaystyle -\frac{6}{60}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O único número a analisar é \displaystyle -\frac{6}{60}.

Passo 2

Ideia-chave (regra que vamos usar) — quando um número racional tem representação decimal finita.
  • Um número racional \displaystyle \frac{a}{b} (com a e b inteiros e b>0) tem representação decimal finita se, quando a fração está na forma irredutível (ou seja, em menor termos), o denominador b tem apenas os fatores primos 2 e/ou 5.
  • Explicação curta do porquê: ter representação decimal finita significa que existe um inteiro k tal que
\frac{a}{b}=\frac{m}{10^{k}}
para algum inteiro m. Isso equivale a dizer que b divide 10^{k}. Como 10^{k}=2^{k}\cdot5^{k}, isso só é possível se os fatores primos de b forem apenas 2 e/ou 5. Inversamente, se b só tem fatores 2 e 5, escolhe-se k suficientemente grande para que b\mid 10^{k} e então a representação decimal será finita.

Passo 3

Começar simplificando a fração dada (colocá-la em menor termos).
Calcular o máximo divisor comum:
\gcd(6,60)=6.
Dividindo numerador e denominador por 6:
-\frac{6}{60} = -\frac{6\div6}{60\div6} = -\frac{1}{10}.

Passo 4

Analisar o denominador da fração irredutível.
A fração irredutível é \displaystyle -\frac{1}{10}. O denominador é 10 e sua fatoração prima é
10 = 2\cdot5.
Como os únicos fatores primos de 10 são 2 e 5, isso satisfaz exatamente a condição da regra do Passo 2: o denominador (em menor termos) tem apenas fatores 2 e 5.

Passo 5

Concluir que a representação decimal é finita e obter explicitamente essa decimal.
Sabendo que \displaystyle -\frac{1}{10} tem denominador 10=10^{1}, já se vê que a representação decimal com k=1 é finita:
-\frac{1}{10} = -0,1.

Resposta

-\dfrac{6}{60}=-0,1

Exercícios relacionados