Mostre que para todo m in Z,-(-m)=m.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo minZ vale
-(-m)=m
O conteúdo que vamos usar é a definição e a unicidade do inverso aditivo no grupo abeliano (Z,+).

Passo 2

Por definição de inverso aditivo, para cada inteiro a existe um único inteiro -a tal que
a + (-a) = 0
Em particular, tomando a = m, temos
m + (-m) = 0,
ou seja, -m é o inverso aditivo de m.

Passo 3

Agora, pela mesma definição, -(-m) é o inverso aditivo de -m, então
(-m) + (-(-m)) = 0
Mas como a adição em Z é comutativa, também
(-m) + m = 0
Logo, m satisfaz a mesma equação que define o inverso aditivo de -m.

Passo 4

Pelo fato de o inverso aditivo ser único em Z, concluímos que
-(-m)=m

Resposta

Para todo minZ, vale -(-m)=m.

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