Mostre que para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para todo
vale
O conteúdo que vamos usar é a definição e a unicidade do inverso aditivo no grupo abeliano
.
Passo 2
Por definição de inverso aditivo, para cada inteiro
existe um único inteiro
tal que
Em particular, tomando
, temos
ou seja,
é o inverso aditivo de
.
Passo 3
Agora, pela mesma definição,
é o inverso aditivo de
, então
Mas como a adição em
é comutativa, também
Logo,
satisfaz a mesma equação que define o inverso aditivo de
.
Passo 4
Pelo fato de o inverso aditivo ser único em
, concluímos que
Resposta
Para todo
, vale
.