Sejam
e
duas transformações lineares. Assinale as alternativas corretas.
(Atenção: Mais de uma alternativa pode ser correta.)
a.
é uma transformação linear.
b.
é uma transformação linear.
c.
é uma transformação linear.
d.
é uma transformação linear.
e.
é uma transformação linear.
(Atenção: Mais de uma alternativa pode ser correta.)
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são transformações lineares em um espaço vetorial
. Pede-se para identificar quais das expressões envolvendo
e
resultam também em transformações lineares. O conteúdo usado será:
- Se
e são lineares, então a composição é linear. - Se
e são lineares, então qualquer combinação linear (com escalares ) é linear.
Passo 2
Mostrar que composições de lineares são lineares. Se
e
satisfazem para todo
e todo escalar
:
e o mesmo para
, então para
temos:
e
Logo
é linear. Idêntica demonstração vale para
. Portanto as alternativas (a) e (e) são corretas.
Passo 3
Interpretar
como composição de operadores. Em teoria de operadores lineares, a notação
costuma significar
. Logo
é linear pelo mesmo argumento do passo anterior. Assim a alternativa (b) também é correta.
Passo 4
Verificar combinações lineares. Sejam
escalares e
lineares. Então
e
Logo qualquer combinação
é linear. Em particular, com
obtemos
e com
obtemos
. Assim (c) e (d) também são corretas.
Resposta
a. correta
b. correta
c. correta
d. correta
e. correta
b. correta
c. correta
d. correta
e. correta