Sejam T: V \rightarrow V e S: V \rightarrow V duas transformações lineares. Assinale as alternativas corretas.
(Atenção: Mais de uma alternativa pode ser correta.)
a. S \circ T é uma transformação linear.
b. S T é uma transformação linear.
c. S+2 T é uma transformação linear.
d. S+T é uma transformação linear.
e. \quad T \circ S é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado diz que T:V\to V e S:V\to V são transformações lineares em um espaço vetorial V. Pede-se para identificar quais das expressões envolvendo S e T resultam também em transformações lineares. O conteúdo usado será:
  1. Se T e S são lineares, então a composição S\circ T é linear.
  2. Se T e S são lineares, então qualquer combinação linear aS + bT (com escalares a,b) é linear.

Passo 2

Mostrar que composições de lineares são lineares. Se T e S satisfazem para todo u,v\in V e todo escalar \lambda:
T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(\lambda u)=\lambda T(u)
e o mesmo para S, então para S\circ T temos:
(S\circ T)(u+v)=S\bigl(T(u+v)\bigr)=S\bigl(T(u)+T(v)\bigr) =S\bigl(T(u)\bigr)+S\bigl(T(v)\bigr)
e
(S\circ T)(\lambda u)=S\bigl(T(\lambda u)\bigr)=S\bigl(\lambda\,T(u)\bigr) =\lambda\,S\bigl(T(u)\bigr).
Logo S\circ T é linear. Idêntica demonstração vale para T\circ S. Portanto as alternativas (a) e (e) são corretas.

Passo 3

Interpretar ST como composição de operadores. Em teoria de operadores lineares, a notação ST costuma significar S\circ T. Logo ST é linear pelo mesmo argumento do passo anterior. Assim a alternativa (b) também é correta.

Passo 4

Verificar combinações lineares. Sejam \alpha,\beta escalares e S,T lineares. Então
(\alpha S + \beta T)(u+v) =\alpha S(u+v)+\beta T(u+v) =\alpha\bigl(S(u)+S(v)\bigr)+\beta\bigl(T(u)+T(v)\bigr)
=\bigl(\alpha S(u)+\beta T(u)\bigr)+\bigl(\alpha S(v)+\beta T(v)\bigr),
e
(\alpha S + \beta T)(\lambda u) =\alpha S(\lambda u)+\beta T(\lambda u) =\alpha\,\lambda S(u)+\beta\,\lambda T(u) =\lambda\bigl(\alpha S(u)+\beta T(u)\bigr).
Logo qualquer combinação \alpha S+\beta T é linear. Em particular, com \alpha=1,\beta=2 obtemos S+2T e com \alpha=\beta=1 obtemos S+T. Assim (c) e (d) também são corretas.

Resposta

a. correta
b. correta
c. correta
d. correta
e. correta

Exercícios relacionados