A Transformação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-y) é injetiva.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = (\,z,\;x - y,\;-y\,)
e pergunta se ela é injetiva. Para isso, vamos usar o fato de que uma transformação linear é injetiva exatamente quando seu núcleo é apenas o vetor nulo.

Passo 2

Definição de injetividade para transformação linear:
T é injetiva se, e somente se,
\ker(T) = \{(0,0,0)\}.

Passo 3

Calcular \ker(T) significa resolver
T(x,y,z) = (0,0,0),
isto é, o sistema
z = 0,\quad x - y = 0,\quad -y = 0.
Da terceira equação vem y=0. Substituindo em x - y = 0 x = 0. E da primeira vem z=0.

Passo 4

Como a única solução é (x,y,z) = (0,0,0), temos
\ker(T) = \{(0,0,0)\},
logo T é injetiva.

Resposta

Verdadeiro

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