1. Os valores x e y que satisfazem a equação matricial
\left(\begin{array}{cc} x & -2 \\\\ 4 & 2 x \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 3 y & 7 \\\\ 1 & -y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 5 \\\\ 5 & 1 \end{array}\right)
são tais que: b) x+y=2; c) x y=-2; d) x+y=4; e) x^{2}=1+y^{2}. а) x y=1;

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
\begin{pmatrix} x & -2\\[2pt] 4 & 2x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3y & 7\\[2pt] 1 & -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5\\[2pt] 5 & 1 \end{pmatrix}
e pede quais das afirmações abaixo são verdadeiras para os valores x e y que satisfazem essa igualdade:
a) \,x y = 1
b) \,x+y = 2
c) \,x y = -2
d) \,x+y = 4
e) \,x^{2} = 1 + y^{2}
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são os elementos das três matrizes acima (os seis números conhecidos e os dois incógnitos x e y). A tarefa é encontrar x e y a partir dessa igualdade matricial e, com esses valores, verificar cada alternativa.]

Passo 2

Regra importante (explicação didática): duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes forem iguais. Isso significa que, ao somar as duas matrizes do lado esquerdo e igualar à matriz do lado direito, devemos igualar elemento por elemento.
Escrevendo as igualdades elemento a elemento obtemos (cada linha/coluna corresponde à mesma posição):
\text{(1) } x + 3y = 4
\text{(2) } -2 + 7 = 5
\text{(3) } 4 + 1 = 5
\text{(4) } 2x - y = 1
Observação: as igualdades (2) e (3) são identidades verdadeiras (só confirmam consistência): -2+7=5 e 4+1=5. As equações que realmente envolvem x e y são (1) e (4).

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema formado por (1) e (4):
\begin{cases} x + 3y = 4,\\[4pt] 2x - y = 1. \end{cases}
Vou usar o método de eliminação (explicando passo a passo): a ideia é eliminar uma incógnita combinando as equações. Por exemplo, multiplicando a primeira equação por 2 obtemos uma equação com 2x, que permite eliminar x ao subtrair a segunda equação.
Multiplicando (1) por 2:
2x + 6y = 8.
Agora subtraio a equação (4) desta:
(2x + 6y) - (2x - y) = 8 - 1.
No lado esquerdo os 2x cancelam; no lado direito 8-1=7. Calculando o que sobra:
2x + 6y - 2x + y = 7 \quad\Rightarrow\quad 7y = 7.
Logo
y = 1.]

Passo 4

Com y=1, substituo em (1) para encontrar x:
x + 3\cdot 1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 3 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto os valores que satisfazem a igualdade matricial são \,x=1 e \,y=1.

Passo 5

Agora avalio cada alternativa substituindo x=1 e y=1. Vou mostrar o cálculo curto para cada uma:
a) \,x y = 1. Substituindo: 1\cdot 1 = 1. Verdadeira.
b) \,x+y = 2. Substituindo: 1+1 = 2. Verdadeira.
c) \,x y = -2. Substituindo: 1\cdot 1 = 1 \neq -2. Falsa.
d) \,x+y = 4. Substituindo: 1+1 = 2 \neq 4. Falsa.
e) \,x^{2} = 1 + y^{2}. Substituindo: 1^{2} = 1 + 1^{2} 1 = 2, que é falso. Portanto falsa.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido e incentivo: encontramos de forma direta x=1 e y=1 usando a propriedade fundamental de igualdade de matrizes e um sistema linear simples. Não se assuste com esse tipo de questão na prova: basta lembrar que igualdade de matrizes é entrada a entrada e resolver o sistema resultante — aqui foi bem curtinho.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Falsa

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