e pede quais das afirmações abaixo são verdadeiras para os valores x e y que satisfazem essa igualdade:
a) \,x y = 1
b) \,x+y = 2
c) \,x y = -2
d) \,x+y = 4
e) \,x^{2} = 1 + y^{2}
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são os elementos das três matrizes acima (os seis números conhecidos e os dois incógnitos x e y). A tarefa é encontrar x e y a partir dessa igualdade matricial e, com esses valores, verificar cada alternativa.]
Passo 2
Regra importante (explicação didática): duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes forem iguais. Isso significa que, ao somar as duas matrizes do lado esquerdo e igualar à matriz do lado direito, devemos igualar elemento por elemento.
Escrevendo as igualdades elemento a elemento obtemos (cada linha/coluna corresponde à mesma posição):
\text{(1) } x + 3y = 4
\text{(2) } -2 + 7 = 5
\text{(3) } 4 + 1 = 5
\text{(4) } 2x - y = 1
Observação: as igualdades (2) e (3) são identidades verdadeiras (só confirmam consistência): -2+7=5 e 4+1=5. As equações que realmente envolvem x e y são (1) e (4).
Passo 3
Agora vamos resolver o sistema formado por (1) e (4):
\begin{cases} x + 3y = 4,\\[4pt] 2x - y = 1. \end{cases}
Vou usar o método de eliminação (explicando passo a passo): a ideia é eliminar uma incógnita combinando as equações. Por exemplo, multiplicando a primeira equação por 2 obtemos uma equação com 2x, que permite eliminar x ao subtrair a segunda equação.
Multiplicando (1) por 2:
2x + 6y = 8.
Agora subtraio a equação (4) desta:
(2x + 6y) - (2x - y) = 8 - 1.
No lado esquerdo os 2x cancelam; no lado direito 8-1=7. Calculando o que sobra:
e) \,x^{2} = 1 + y^{2}. Substituindo: 1^{2} = 1 + 1^{2} dá 1 = 2, que é falso. Portanto falsa.
Passo 6
Resumo interpretativo rápido e incentivo: encontramos de forma direta x=1 e y=1 usando a propriedade fundamental de igualdade de matrizes e um sistema linear simples. Não se assuste com esse tipo de questão na prova: basta lembrar que igualdade de matrizes é entrada a entrada e resolver o sistema resultante — aqui foi bem curtinho.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Falsa