Indique o tipo de indeterminação nos limites a seguir e resolva-os aplicando a Regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x^3}. O conteúdo é limites que apresentam indeterminação do tipo 0/0 e aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Substituindo x=0 vemos que
e^x - 1 \;\to\; e^0 - 1 = 0
e
x^3 \;\to\; 0^3 = 0,
portanto temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital diferenciamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(e^x-1)=e^x,
\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2.
Logo,
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{e^x}{3x^2}.

Passo 4

No limite resultante, quando x\to0 temos e^x\to1 e 3x^2\to0^+. Assim a fração cresce sem limite, ou seja tende a +\infty.

Resposta

\infty

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