Verifique se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \operatorname{arctg} n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\arctan n.
O conteúdo é séries numéricas, em especial o teste do termo geral (condição necessária para convergência) e, em alternativa, o critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Considere o termo geral
u_n = (-1)^{n-1}\arctan n.
Para que uma série \sum u_n seja convergente, é necessário que \lim_{n\to\infty}u_n = 0. Mas
\lim_{n\to\infty}\arctan n = \frac{\pi}{2},
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\lim_{n\to\infty}u_n = \pm\frac{\pi}{2}\neq 0.
Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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