Uma indústria afirma que a média do nível do pH na água do rio mais próximo é de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma, as quais apresentam média amostral é 6,5 e desvio padrão 0,24 . Ao nível de significância de
, verifique se a afirmação da indústria está correta, através de teste unilateral à esquerda.
a) Identifique as hipóteses do teste.
e
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta:
graus de liberdade e
d)
a) Identifique as hipóteses do teste.
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre verificar se a média do nível de pH na água do rio realmente é 6,8, como a indústria afirma. A matéria que estamos usando aqui é teste de hipóteses para a média, especificamente um teste unilateral à esquerda. Para isso, vamos precisar dos valores da amostra (média e desvio padrão), do tamanho da amostra e do nível de significância.
Passo 2
a) Identifique as hipóteses do teste.
e
Primeiro, precisamos formular as hipóteses:
-
Hipótese Nula (
): A média do pH é igual a 6,8. -
Hipótese Alternativa (
): A média do pH é menor que 6,8 (teste unilateral à esquerda).
Passo 3
b) Especifique o nível de significância.
O nível de significância é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No exercício, o nível de significância é de 1%, ou seja,
.
Passo 4
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
Como estamos fazendo um teste unilateral à esquerda com
e 18 graus de liberdade (porque a amostra tem 19 elementos, então
), vamos buscar na tabela t o valor crítico correspondente.
O valor crítico para
e
é aproximadamente
. A região crítica fica à esquerda desse valor.
Passo 5
d) Calcule a estatística do teste.
A fórmula para calcular a estatística t é:
Onde:
-
(média amostral) -
(média segundo a hipótese nula) -
(desvio padrão da amostra) -
(tamanho da amostra)
Calculando:
Então, a estatística do teste é aproximadamente
.
Passo 6
e) Decisão.
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
- Valor calculado (
) < Valor crítico ( )
Como o valor calculado está na região crítica, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Ao rejeitarmos a hipótese nula, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a média do nível de pH na água do rio é menor que 6,8. Isso significa que a afirmação da indústria de que a média é 6,8 não está correta com base nos dados analisados.
Resposta
A média do nível de pH na água do rio é menor que 6,8, rejeitando a afirmação da indústria ao nível de significância de 1%.