Uma indústria afirma que a média do nível do pH na água do rio mais próximo é de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma, as quais apresentam média amostral é 6,5 e desvio padrão 0,24 . Ao nível de significância de 1 %, verifique se a afirmação da indústria está correta, através de teste unilateral à esquerda.
a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: -t0,01=-2,552(varphi=18 graus de liberdade e alpha=0,01) d) T calc =-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre verificar se a média do nível de pH na água do rio realmente é 6,8, como a indústria afirma. A matéria que estamos usando aqui é teste de hipóteses para a média, especificamente um teste unilateral à esquerda. Para isso, vamos precisar dos valores da amostra (média e desvio padrão), do tamanho da amostra e do nível de significância.

Passo 2

a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
Primeiro, precisamos formular as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A média do pH é igual a 6,8.
    H0: mu = 6,8
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média do pH é menor que 6,8 (teste unilateral à esquerda).
    H1: mu < 6,8

Passo 3

b) Especifique o nível de significância.
O nível de significância é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No exercício, o nível de significância é de 1%, ou seja, alpha = 0,01.

Passo 4

c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
Como estamos fazendo um teste unilateral à esquerda com alpha = 0,01 e 18 graus de liberdade (porque a amostra tem 19 elementos, então df = n - 1 = 18), vamos buscar na tabela t o valor crítico correspondente.
O valor crítico para alpha = 0,01 e df = 18 é aproximadamente t0,01 = -2,552. A região crítica fica à esquerda desse valor.

Passo 5

d) Calcule a estatística do teste.
A fórmula para calcular a estatística t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 6,5 (média amostral)
  • mu0 = 6,8 (média segundo a hipótese nula)
  • s = 0,24 (desvio padrão da amostra)
  • n = 19 (tamanho da amostra)
Calculando:
t = 6,5 - 6,80,24 / raiz19 = -0,30,24 / 4,3589 approx -0,30,0551 approx -5,45
Então, a estatística do teste é aproximadamente t = -5,45.

Passo 6

e) Decisão.
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Valor calculado ( t approx -5,45) < Valor crítico ( -2,552)
Como o valor calculado está na região crítica, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Ao rejeitarmos a hipótese nula, concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a média do nível de pH na água do rio é menor que 6,8. Isso significa que a afirmação da indústria de que a média é 6,8 não está correta com base nos dados analisados.

Resposta

A média do nível de pH na água do rio é menor que 6,8, rejeitando a afirmação da indústria ao nível de significância de 1%.

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