Você deseja monitorar a quantidade de sódio em certa marca de cereal. Na amostra com 40 porções de cereal, foi observado que a quantidade média de sódio é de 232 mg , por porção, e o desvio padrão é de 10 mg . Com nível de significância de 5 %, formule e teste um conjunto apropriado de hipóteses, conforme roteiro a seguir, para verificar se a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg .
a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c) Z0,05=1,65 d) Z calc =1,27

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg. Para isso, vamos usar teste de hipóteses na estatística, especificamente um teste z porque temos a média, o desvio padrão e uma amostra grande (40 porções). Precisaremos formular as hipóteses, definir o nível de significância, encontrar o valor crítico, calcular a estatística do teste, tomar uma decisão e interpretar o resultado.

Passo 2

a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
Neste passo, precisamos formular a hipótese nula ( H0) e a hipótese alternativa ( H1).
  • Hipótese Nula ( H0): A quantidade média de sódio por porção de cereal é igual a 230 mg.
    H0: mu = 230 , mg
  • Hipótese Alternativa ( H1): A quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg.
    H1: mu > 230 , mg

Passo 3

b) Especifique o nível de significância.
O nível de significância é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Neste caso, o problema já nos dá o nível de significância de 5%.
alpha = 0,05

Passo 4

c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
Como estamos testando se a média é maior que 230 mg, será um teste unilateral à direita. Para alpha = 0,05, o valor crítico da distribuição normal padrão (z) é aproximadamente 1,65.
Zalpha = 1,65
A região crítica é qualquer valor de Z maior que 1,65.

Passo 5

d) Calcule a estatística do teste.
Usamos a fórmula do teste z:
Zcalc = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx = 232 , mg (média da amostra)
  • mu0 = 230 , mg (média hipotética)
  • sigma = 10 , mg (desvio padrão)
  • n = 40 (tamanho da amostra)
Calculando:
Zcalc = 232 - 23010raiz40 = 2106,3246 = 21,5811 approx 1,27
Zcalc approx 1,27

Passo 6

e) Decisão.
Comparamos Zcalc com Zalpha:
1,27 < 1,65
Como Zcalc é menor que Zalpha, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Não há evidências suficientes para afirmar que a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg no nível de significância de 5%. Portanto, podemos concluir que a média de sódio está dentro do esperado.

Resposta

a)
H0: mu = 230 , mg e H1: mu > 230 , mg
b)
alpha = 5%
c)
Z0,05 = 1,65
d)
Zcalc = 1,27
e)
Não rejeitamos a hipótese nula.
f)
Não há evidências suficientes para concluir que a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg.

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