Os médicos acreditam que um medicamento comumente prescrito para aliviar a tensão nervosa tem 60 % de eficácia. O laboratório não concorda e decide investigar essa eficácia. Os resultados experimentais com o medicamento administrado em uma amostra aleatória de 100 adultos que sofrem de tensão nervosa mostraram que 70 deles sentiram alívio. Você concorda com os médicos, ao nível de significância de 1 % ?
a) Identifique as hipóteses do teste. (H0 e H1)
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c) Z0,01=2,33 d) Z calc =2,04

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde os médicos acham que um medicamento para aliviar a tensão nervosa funciona em 60% dos casos. Mas o laboratório não concorda e quer verificar essa eficácia. Eles fizeram um teste com 100 adultos e descobriram que 70 se sentiram aliviados. A pergunta é: você concorda com os médicos, usando um nível de significância de 1%? Vamos explorar isso passo a passo usando testes de hipóteses.

Passo 2

a) Identifique as hipóteses do teste. (H₀ e H₁)
Primeiro, precisamos formular as hipóteses. A hipótese nula (H₀) geralmente representa a situação de “nenhuma mudança” ou “nenhuma diferença”, enquanto a hipótese alternativa (H₁) representa o que queremos provar.
  • H₀: A eficácia do medicamento é de 60%. Matematicamente, isso pode ser escrito como , onde é a proporção de eficácia.
  • H₁: A eficácia do medicamento não é de 60%. Ou seja, .
Isso configura um teste bicaudal porque estamos verificando se a eficácia é diferente, seja maior ou menor, que 60%.

Passo 3

b) Especifique o nível de significância.
O nível de significância é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Neste caso, o nível de significância dado é de 1%, ou seja, .

Passo 4

c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
O valor crítico é o ponto que separa a região de rejeição da região de não rejeição na distribuição estatística. Para um teste bicaudal com , dividimos o nível de significância igualmente nas duas caudas da distribuição.
Utilizando tabelas de distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico é aproximadamente . Isso significa que a região crítica está além de desvios padrão da média.
Resposta: c) (Nota: Existe uma pequena discrepância aqui. Para , o valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente 2,58. O valor 2,33 corresponde a um teste unilateral com .)

Passo 5

d) Calcule a estatística do teste.
A estatística do teste nos diz quantos desvios padrão nossa amostra está da média sob a hipótese nula. A fórmula para o teste de proporção é:
Z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • Z = 0,70 - 0,60raiz0,60 times 0,40100 = 0,10raiz0,0024 = 0,100,049 approx 2,04 (proporção amostral)
  • (proporção sob H₀)
  • (tamanho da amostra)
Calculando:
Resposta: d)

Passo 6

e) Decisão.
Agora, comparamos com os valores críticos. Se , rejeitamos H₀.
Neste caso: (considerando para um teste bicaudal).
Decisão: Não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Como não rejeitamos H₀, não temos evidências suficientes para discordar dos médicos. Ou seja, com base nos dados da amostra e no nível de significância de 1%, não podemos afirmar que a eficácia do medicamento é diferente de 60%.

Resposta

c)
d)

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