Você deseja monitorar a quantidade de sódio em certa marca de cereal. Na amostra com 20 porções de cereal, foi observado que a quantidade média de sódio é de 232 mg , por porção, e o desvio padrão é de 10 mg . Com nível de significância de
, formule e teste um conjunto apropriado de hipóteses, conforme roteiro a seguir, para verificar se a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg .
a) Identifique as hipóteses do teste.
e
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c)
(
graus de liberdade e
) d)
a) Identifique as hipóteses do teste.
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos verificar se a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg. Para isso, vamos usar Teste de Hipóteses que é uma ferramenta da estatística para tomar decisões sobre parâmetros da população com base em dados amostrais. Precisaremos dos dados fornecidos: média amostral (
mg), desvio padrão (
mg), tamanho da amostra (
), e nível de significância (
).
Passo 2
a) Identificando as Hipóteses
No teste de hipóteses, temos duas hipóteses:
-
Hipótese Nula (
): É a hipótese que representa o estado de “não efeito” ou “nenhuma diferença”. Aqui, afirma que a média de sódio é de no máximo 230 mg. -
Hipótese Alternativa (
): Representa o que queremos testar, que neste caso é se a média de sódio é maior que 230 mg.
Passo 3
b) Especificando o Nível de Significância
O nível de significância (
) é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. No exercício,
ou 0,05. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de cometer um erro tipo I (rejeitar
quando
é verdadeira).
Passo 4
c) Obtendo o Valor Crítico e Esboçando a Região Crítica
O valor crítico é o ponto de corte que define a fronteira da região onde rejeitamos
. Para um teste unilateral à direita com
e
graus de liberdade (já que
), o valor crítico
é aproximadamente 1,729.
A região crítica será todos os valores de
maiores que 1,729.
Passo 5
d) Calculando a Estatística do Teste
A estatística do teste
é calculada usando a fórmula:
Onde:
-
mg -
mg -
mg -
Calculando:
Passo 6
e) Decisão
Comparamos
com o valor crítico
:
Como
não está na região crítica, não rejeitamos a hipótese nula
.
Passo 7
f) Interpretando a Decisão no Contexto do Exercício
Não encontramos evidências suficientes para afirmar que a quantidade média de sódio por porção de cereal é maior que 230 mg com nível de confiança de 5%. Portanto, a marca não precisa ajustar a quantidade de sódio com base nesses dados.
Resposta
c)
(
graus de liberdade e
)
d)
d)